计算科学 - 数值稳定的计算程序米= B一种− 1乙M=BA−1B - 吾爱随笔录

计算科学矩阵拉帕克矩阵分解

2021-11-28 21:29:36

而不是

不知何故，我觉得有更好的计算方法 $M$ 与 lapack/mkl？

2个回答

如果数值稳定性和鲁棒性是您唯一关心的问题，您可以尝试计算 SVD $A$ ，并使用它来计算产品。具体来说，让 SVD $A$ 是：

A = U Σ V^{T} .

$A = U \Sigma V^T.$ 然后

B A^{- 1} B = (B V) Σ^{- 1} (U^{T} B) .

$B A^{-1}B = (BV)\Sigma^{-1}(U^TB).$ 这甚至可能在以下情况下起作用

A

$A$ 是病态的，但是

B A^{- 1} B

$B A^{-1} B$ 不是，由于其上的空间

B

$B$ 和

B^{T}

$B^T$ 跨度，以及它们与主要子空间的相互作用

A

$A$ . 如果它失败了，你可以根据正在放大的模式查看它究竟是如何失败的，然后决定从那里做什么。

当然，计算 SVD 非常昂贵。在这种情况下，请避免使用分而治之的 SVD 算法实现，因为这些算法虽然通常计算速度更快，但对于非常小的奇异值往往不太准确。

如果没有矩阵的特殊属性，您将无法进行智能分解或考虑对线性系统使用特殊的解析方法（例如，使用预处理技术的迭代方法来减轻病态，始终牢记 Wolfgang Bangerth 的评论）。

考虑到您有时会遇到的 Toepliz 矩阵。从与数字库更相关的角度来看，直到 2013 年初，lapack 肯定没有为 Toepliz 矩阵提供特殊功能，请参阅lapack 档案。现在我也没有找到专用功能。关于 mkl 我不知道 Toepliz 矩阵的特殊功能。

也许Netlib 的这些功能（所以我们仍然在类似于 lapack/mkl 的环境中）对 Toepliz 矩阵有用。

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