计算科学 - 关于拉普拉斯曲面编辑的问题 - 吾爱随笔录

关于拉普拉斯曲面编辑的问题

计算科学优化

2021-12-05 22:06:44

我阅读了名为 Laplacian Surface Editing 的论文，但我对作者如何求解公式（4）感到困惑。论文说“解决这个二次最小化问题会导致稀疏线性方程组”，所以我尝试在 matlab 中使用 quadprog 函数，但是当节点的大小变大时，我的结果变得混乱。我阅读了本文的“MATLAB 2D 演示”代码（http://igl.ethz.ch/projects/Laplacian-mesh-processing/Laplacian-mesh-editing/），看来他们只是通过解决问题来解决问题一个线性系统，而不是使用诸如“内部点”或“活动集”之类的方法。如果有人读过这篇论文，你能告诉我他们到底是如何解决公式（4）的吗？非常感谢！

2个回答

我将根据您正在寻找功能的领域中的类似问题来说明这一点 $u(x)$ （即拉普拉斯方程）：如果您希望最小化问题

min_{u \in H^{1}} \frac{1}{2} ‖ \nabla u ‖_{L_{2} (Ω)}^{2} - \int f u d x

$\min_{u \in H^1} \frac 12 \|\nabla u\|^2_{L_2(\Omega)} - \int f\; u \; dx$ 那么这相当于求解偏微分方程这是因为 PDE 是优化问题的最优条件，并且因为它们是线性的，所以允许直接解。

- Δ u = f .

$-\Delta u = f.$

同样地，论文的方程（4）给出的最小化问题导致了一个偏微分方程——这里提出在物体的表面——作为最优条件，这就是作者解决的问题。

为了补充 Wolfgang 的答案，他们在论文中提出的 PDE 作为无约束优化问题的最优条件出现。您提到quadprog在 MATLAB 中使用该函数以及内部点和活动集等方法；这些更适合具有不等式约束的优化问题。这将是一个问题

$\min\frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2 dx - \int_\Omega u\cdot f dx$ ，总的来说 :。 $u$ $u \ge 0$

添加约束使得具有不等式约束的二次规划问题比无约束 QP 更难，归结为仅求解线性系统。通过使用内点法，您可以将通常用于不等式约束问题的方法应用于无约束问题。希望这可以澄清问题！ $u \ge 0$

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