您可以为网格质量定义多个度量。例如，gmsh使用衡量元素形状的标准。它基于元素半径比，即内接圆与外接圆之间的比率（参见参考文献 1）。我认为您也可以使用雅可比来描述元素的质量，尽管您可能需要查看参考 2。

关于雅可比，首先要提到的是它是高阶元素中元素坐标的函数。然后，对于这些元素，您需要计算每个元素的优值，例如，行列式的平均值或规范的平均值。对于线性元素，您将进行如下图所示的变换

对于这个简单的情况，转换由 其中 和。这是考虑转换的最简单方法，您可以发现它解决了线性方程组，它仅取决于节点的位置。

$$\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} = \mathbf{T}\begin{pmatrix}r\\ s \end{pmatrix} \equiv [J]\begin{pmatrix}r\\ s \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_A\\ y_A \end{pmatrix} \enspace ,$$ $$[J] = \begin{bmatrix} x_B - x_A &x_C - x_A\\ y_B - y_A &y_C - y_A \end{bmatrix} \enspace ,$$ $\det J = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)$

对于您的问题，您想计算雅可比行列式，然后将位移应用于每个节点，然后再计算一次。

参考

1. Geuzaine、Christophe 和 Jean-François Remacle。“Gmsh：具有内置预处理和后处理设施的 3-D 有限元网格生成器。” 国际工程数值方法杂志 79.11 (2009): 1309-1331。
2. 佩贝、菲利普和蒂莫西·贝克。“三角形质量措施的分析。” 计算数学 72.244（2003）：1817-1839。