计算科学 - 随机（投影）Gross-Pitaevskii 方程的自适应 Runge-Kutta - 吾爱随笔录

我正在使用XMDS库来求解随机（投影）Gross-Pitaevskii 方程

i ℏ \partial Φ {(r, t)}_{t} = \hat{P} {(1 - i γ) ({\hat{H}}_{G P} - μ) Φ + η (r, t)}

$i \hbar \partial \Phi\left(\mathbf{r},t\right)_t=\hat{\mathcal{P}}\left\{(1-i \gamma)\left(\hat{H}_{\mathrm{GP}}-\mu\right) \Phi+\eta\left(\mathbf{r},t\right)\right\}$

在哪里 $\eta\left(\mathbf{r},t\right)$ 是一个随机噪声场。

在 XMDS 文档中，注意到：

由于随机方程的所有龙格-库塔解都具有相同的收敛阶数，如果步长受随机项的限制，那么步长估计是完全不可靠的。因此，自适应龙格-库塔算法不适用于随机方程。（http://www.xmds.org/reference_elements.html?highlight=adaptive）

我已经注意到这个 SE 答案中提出的论点：正常 Runge-Kutta 方法不能推广到 SDE 的容易理解的论点？.

从 XMDS 文档中，他们注意到如果步长 $\Delta x$ 受限于 $\eta$ 那么自适应龙格-库塔是不可靠的。我不确定“有限”在这个意义上是什么意思......我的步长（我相信！）独立于随机噪声 $\eta$ 而是依赖于光谱空间中的一些圆形动量截止。

此外，A. Das等人的工作。（Scientific Reports 2，文章编号：352 (2012)）明确使用自适应 Runge-Kutta 方法来求解这个随机 PDE，但他们没有解释为什么这是有效的。

为什么在这种情况下可以使用自适应龙格库塔？