这个问题最初发布在 Quant.StackExchange 中，但已经有一段时间没有得到解答，所以我在这里提问。

为了简单起见，让我们考虑几何布朗运动（GBM）。

我的问题：

• 1. 如何使用 GBM 证明 Euler-Maruyama 方法是收敛的？
• 2.如何确定收敛的顺序？

背景和我面临的问题：

根据数值分析理论SDE 求解器有阶$p$如果错误的期望值为$p$时间步长中的 th 阶

现在让$S_t$成为GBM$S_0=1,$ $\mu=0.1$和$\sigma=0.15$然后$E[S_{10}] =e$

当我运行求解器时$10,000$不同尺寸的时间$dt$，我希望我的样本均值和真实均值之间的差异，$e$, 将减少为$dt$变小。但是，当我运行这些模拟时，这就是我得到 的：这并不表示误差收敛为零，因为 $dt$归零？

为什么……这是因为随机性？我实际上已经尝试过$1 \,000$,$10\,000$， 和$20\,000$模拟。一般来说，$10\,000$模拟应该足以消除大部分差异。

请建议我如何确定/显示收敛顺序。

如果有人对代码感兴趣

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

T = 10
mu = 0.1
sigma = 0.15
S0 = 1
ns = 10000


solution = S0*np.exp( mu*T ) 


dt_ = np.array([0.1,0.05,0.01,0.005])
err = np.zeros( len(dt_ )); 
for j in range ( len(dt_ )):
    dt = dt_[j]
    Sn = np.zeros( (ns) ) 
    for i in range(ns):
        N = int(round(T/dt))
        t = np.linspace(0, T, N)
        ex= np.linspace(0, T, N)
        W = np.random.standard_normal(size = N) 
        W = np.cumsum(W)*np.sqrt(dt) ### standard brownian motion ###
        X = (mu-0.5*sigma**2)*t + sigma*W 
        S = S0*np.exp(X) ### geometric brownian motion ###
        Sn[i]= S[-1]

    mn          = np.mean(Sn)
    print(mn)
    err[j]      = abs( mn - solution)

plt.clf();
plt.loglog(dt_,err, color ="black", label = "Error (abs)");plt.xlabel("dt",fontsize = 20); plt.ylabel("Error (abs)",fontsize = 20)
plt.loglog(dt_,err, 'o', color ="black" , label = "x")
plt.title("loglog-plot",fontsize = 30);
plt.loglog(dt_,0.05*dt_**0.5, linestyle = ":")

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