我想我宁愿看到它以这种方式完成。因为是可逆的，所以， 那么我们有 我们已经进行了替换，并利用了的事实，同样因为是可逆的。$A$$\min_i\sigma_i>0$

$$\min_i\sigma_i = \inf_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} \quad\Longleftrightarrow \frac{1}{\min_i\sigma_i} = \sup_{x\neq 0}\frac{\|x\|_2}{\|Ax\|_2}.$$ $$\frac{1}{\min_i\sigma_i} = \sup_{x\neq 0}\frac{\|x\|_2}{\|Ax\|_2} = \sup_{A^{-1}y\neq 0}\frac{\|A^{-1}y\|_2}{\|y\|_2} = \sup_{y\neq 0}\frac{\|A^{-1}y\|_2}{\|y\|_2} = \|A^{-1}\|_2.$$ $Ax=y$$A^{-1}y=0\Longleftrightarrow y=0$$A$

$A$奇异值分解可以写成$A=USV^T$，其中$S$是$\sigma_i$的奇异值的对角矩阵。

矩阵的欧几里得范数可以写成：，这意味着范数是最大奇异值。$||A||_2=\sigma_{max}(A)$

如果是可逆的，则。$A$$A^{-1}=(USV^T)^{-1}$

从这里开始：

$$A^{-1}=(USV^T)^{-1} =(V^T)^{-1}S^{-1}U^{-1}$$

如果是实值矩阵，则从正交性进一步简化为： $A$

$$A^{-1}=VS^{-1}U^T.$$

这个新矩阵现在有奇异值，它的范数是，其中取矩阵的对角线。因为是对角矩阵，所以它的逆矩阵是通过简单地反转每个元素来计算的。所以，$A^{-1}$$S^{-1}$$\max(\text{diag}(S^{-1}))$$\text{diag}$$S$

$||A^{-1}||_2=\sigma_{max}(A^{-1})=\max\limits_{i} \text{diag}(S^{-1})_i = \max\limits_{i}\frac{1}{\sigma_i}=\frac{1}{\min\limits_{i}{\sigma_i}}$这样就完成了证明。