$$\begin{array}{ll} \text{maximize} & a_1 x - a_2 | x |\\ \text{subject to} & \color{gray}{\text{(linear constraints)}}\end{array}$$

其中给出。写作作为一个最小化问题，$a_1, a_2 \in \mathbb R$

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & a_2 | x | - a_1 x\\ \text{subject to} & \color{gray}{\text{(linear constraints)}}\end{array}$$

要最小化的目标函数是

$$f (x) := a_2 |x| - a_1 x = \begin{cases} -(a_1 + a_2) \, x & \text{if } x \leq 0\\ \,\,\,\,(a_2 - a_1) \, x & \text{if } x \geq 0\end{cases}$$

如果，则是凸的。在这种情况下，的铭文也是凸的，可以通过半空间的交集来定义，如下所示$a_1, a_2 \geq 0$$f$$f$

$$\left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid y \geq (a_2 - a_1) \, x \land y \geq -(a_1 + a_2) \, x \right\}$$

中有以下线性规划$x, y \in \mathbb R$

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \,\,\,\, y\\ \text{subject to} & \,\,\,\,(a_2 - a_1) \, x - y \leq 0\\ & -(a_1 + a_2) \, x - y \leq 0\\ & \,\,\,\,\,\color{gray}{\text{(linear constraints on } x)}\end{array}$$

您可以将原始问题分成两个线性规划问题，第一个具有目标 和（附加）约束，第二个具有目标和（附加）约束。然后，您将选择两个解决方案中最好的一个作为原始问题的解决方案。$f(x_1)=a_1 x_1 -a_2 x_1$$x_1\geq 0$$f(x_1)=a_1 x_1 + a_2 x_1$$x_1 <0$

将变量分成正负分量似乎对我们有用。我将包括我的解决方案，尽管解决方案的范围可能存在限制。

基本上，对于每个变量$x_1$，我们将变量一分为二：$x_{1+}$和$x_{1-}$. 然后我们添加了约束：

$-x_{1+}\le 0$

和

$x_{1-}\le 0$

然后，我们能够将系数的价值函数分别应用于每个部分。例如，

$f(x_{1+},x_{1-}) = a_1 x_{1+} - a_1 x_{1-}$

随着变量的最终解决方案$x_1$存在：

$x_1 = x_{1+} + x_{1-}$

在我们尝试并证明了这一点之后，我们在这里找到了关于该方法的讨论。