我正在求解形式的方程

$(*)$ $0 = a(f) (\partial_rf)^2 + b(f) (\partial_rf) + c(f),$

在哪里$f$是一个实函数$r\in \mathbb{R}$， 和$a,b,c$是真正的函数$f$. 边界条件$f=f_0$在$r=0$. 现在，我正在解决$(*)$通过有限差分$(*)$然后应用松弛法。

我想解决$(*)$使用显式方法，例如 Runge-Kutta 类型方法。到目前为止我唯一想到的想法是治疗$(*)$作为代数方程$\partial_rf$，然后使用 Runge-Kutta 求解器求解生成的线性 ODE。我发现这个过程非常不优雅，我想知道是否有一套算法可以解决（至少）特定类型的非线性 ODE。

我认识到（可能是？）解决方案的唯一性问题$(*)$; 我也将不胜感激有关如何以数字方式选择特定解决方案的任何见解。