计算科学 - 如何证明两个特征向量是正交的？ - 吾爱随笔录

如何证明两个特征向量是正交的？

计算科学 matlab 有限差分特征值矩阵

2021-12-26 21:45:13

eigs我使用Matlab获得了矩阵的 6 个特征对。我如何证明这些特征向量彼此正交？我几乎可以肯定我以正确的方式对模量和相位进行了归一化，但它们似乎不是正交的。矩阵应该是正常的。该矩阵来自欧拉-伯努利梁问题的离散化，长度为 1 的梁具有铰链自由边界条件：那么，本征问题可以写成：

\frac{\partial u}{\partial t} + γ \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}} = 0, \frac{\partial y}{\partial t} - u = 0.

$\frac{\partial u }{\partial t} + \gamma \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = 0,\\ \frac{\partial y}{\partial t} - u = 0.\\$

λ [\begin{matrix} I & 0 \\ 0 & I \end{matrix}] {\begin{matrix} y \\ u \end{matrix}} = [\begin{matrix} 0 & I \\ - γ B & 0 \end{matrix}] {\begin{matrix} y \\ u \end{matrix}},

$\lambda \left[ \begin{matrix} I & 0 \\ 0 & I \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} y \\ u \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} 0 & I \\ -\gamma B & 0 \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} y \\ u \end{matrix} \right\},$ 其中是单位矩阵，是使用有限差分离散化的 bilaplacian 算子。

I

$I$

B

$B$

2个回答

如果矩阵是正常的（即），您确实应该在理论上或数值上获得正交特征向量。您可以通过使用从和计算获得的特征向量列构建的矩阵来进行数值检查，这应该给您（非常接近）单位矩阵。 $A^HA=AA^H$ V[V,D] = eigs(A)V'*V

您没有观察到正交性的事实很可能是由于矩阵不正常（您也可以通过数字检查，例如通过norm(A'*A-A*A','fro')）。这并不奇怪：尽管您的微分算子（特别是 bilaplacian）是自伴随的，但它的离散化不一定是这种情况。特别是，修改刚度矩阵（在您的情况下为）以合并狄利克雷边界条件的大多数方法都会破坏对称性。 $B$

当您处理复值向量时，内积可能定义为，其中 * 表示复共轭。例如，向量与不正交，因为。另一方面，正交。您不能只使用普通的“点积”来显示复杂向量是正交的。 $(u,v)=u_1^*v_1+...+u_n^*v_n$ $u=(1,i)$ $v=(-i,1)$ $(u,v)=1(-i)+(i)^*(1)=-2i$ $u$ $w=(i,1)$

考虑测试矩阵。该矩阵是 Hermitian 矩阵，具有不同的特征值 2 和 0，分别对应于特征向量和。您可以在 Matlab 中使用此测试矩阵及其特征向量来验证您计算的是内积，而不是我所说的普通“点积”。 $\left(\begin{matrix}1& -i \\ i& 1\end{matrix}\right)$ $u$ $w$

另请注意，内积在物理学中的定义如上。这就是为什么我说“可能定义为”。数学家更有可能将复向量空间的内积定义为，这只是我上面定义的复共轭。 $(u,v)=u_1v_1^*+...+u_nv_n^*$

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