因为函数是严格递增的，所以可以简化为一维情况。在每个一维问题中，都有更有效的标准方法可用，比二分法更有效，这也意味着不必自己想出非标准方法。毕竟，一维求根是一个“已解决”的标准问题。

不失一般性，假设$f_0=g_0=0$, 并定义$x_f=x_f(y)$和$x_g=x_g(y)$成为解决方案$f(x_f(y), y) = 0$， 和$g(x_g(y), y)=0$， 分别。两个都$x_f, x_g$是定义良好的严格递减函数$y$，并且可以通过一维寻根，甚至二等分来进行数值评估。那么共同的根$f=g=0$对应于一个解决方案$x_f(y)-x_g(y) = 0$，这又是一个一维问题。

必须适当地选择初始括号，以便正确地将每个一维问题的根括号括起来。从几何上讲，可以选择一个有顶点的矩形$(x_-, y_-), (x_+, y_+)$使得曲线$x=x_f(y)$和$x=x_g(y)$穿过矩形$y=\mathrm{const}$仅边界（绘制它更容易），并在矩形内相互交叉（必须只有一次）。

假设您最初可以将根“括起来”，这意味着您有四个点$(x_i,y_i), i=1,...,4$这样：

$$f(x_1,y_1) < f_0 \textrm{ and } g(x_1,y_1) < g_0,$$ $$f(x_2,y_2) < f_0 \textrm{ and } g(x_2,y_2) > g_0,$$ $$f(x_3,y_3) > f_0 \textrm{ and } g(x_3,y_3) < g_0,$$ $$f(x_4,y_4) > f_0 \textrm{ and } g(x_4,y_4) > g_0.$$

那么我们可以保证方程组的一个根包含在四个点的凸包中。

算法可以迭代以下两个步骤：

1. 计算四个点的质心。
2. 用质心替换四个点之一。选择替换的点以使上述八个不等式仍然适用于新的四个点集。

四个点的凸包面积最终会缩小，从而将根定位到任意精度。

我无法分析凸包面积减小的速度。此外，找到最初四个点的稳健方法将很有用。另外，我声称四个点的凸包包含一个根，但我无法对这个陈述给出严格的证明（我认为直觉上是正确的，但我可能是错的）。