计算科学 - 在 Python 中用可变系数求解微分方程（我只知道数值上的系数） - 吾爱随笔录

在 Python 中用可变系数求解微分方程（我只知道数值上的系数）

计算科学 Python 颂微分方程

2021-11-30 03:09:22

我正在尝试实现一个例程来解决 Python 中的微分方程。基本上，我有兴趣求解的方程是以下形式：

\frac{d}{d x^{2}} (x y (x)) = 2 x ((U (x) - a) y (x) + 2 b y (x)^{3})

$\displaystyle \frac{d}{dx^2} \left(x y(x) \right) = 2 x ((U(x)-a) y(x)+ 2 b y(x)^3)$

其中是一个未知常数，是一个已知常数，是一个依赖于的函数，但我只知道数字（我的意思是，我没有明确的形式 )。 $a$ $b$ $U(x)$ $x$ $U(x)$ $x$

我需要找到满足我的初始和边界条件和，）。 $a$ $y(0)=y_0$ $y(x\rightarrow \infty)=0$ $a<1$

为此，我正在考虑使用射击法（准确地说是割线法），用 RK4 多次求解上述方程（使用scipy.integrate.ode）。

我的问题是我不知道如何在我的方程中引入的数值，因为 ode 只要求初始条件下的值。 $U(x)$

有没有办法用scipy.integrate.ode或用另一个求解器来求解我的方程？

1个回答

首先，您需要在一组一阶微分方程中重写您的非线性微分方程，因为该solve_ivp例程解决了其中可以是一个向量。所以定义和你可以把你的原始方程写成这是所需的形式。 $u'(x) = f(x,u), \ u(0) = u_{0}$ $u(x)$ $u_{1}(x) = y(x)$ $u_{2}(x) = y'(x)$

\begin{array}{lll} u_{1}^{'} (x) & = & u_{2} (x) \\ u_{2}^{'} (x) & = & 2 (U (x) - a) u_{1} (x) + 4 b (u_{1} (x))^{3} - \frac{2}{x} u_{2} (x) \end{array}

$\begin{array}{lll} u_{1}'(x) &=& u_{2}(x) \\ u_{2}'(x) &=& 2(U(x)-a)u_{1}(x)+4b(u_{1}(x))^{3} - \frac{2}{x}u_{2}(x)\end{array}$

您需要设置初始条件和；您在原始问题陈述中未指定的后者。但是看第二个等式，它需要为零，否则最后一项会被零除。 $u_1(0) = y_{0}$ $u_{2}(0) = y'(0)$

接下来，您需要一个将作为 x 的函数的例程。你说你没有分析形式，只有数字数据。因此，您需要编写一个插值可用数值数据（或您认为合适的另一种近似值）的例程。 $U(x)$ $x$

然后，您可以使用不同的参数值启动一系列计算，a以查看的解何时趋于零。并将它们包装在割线求解器（或任何其他求解器）中以找到. $x\to\infty$ a

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