任何旋转矩阵都可以分解为围绕轴旋转某个角度、围绕轴旋转某个角度以及围绕轴旋转某个角度的乘积。这些主旋转矩阵是其旋转角度的三角函数，因此我不确定如何将这些角度作为输入向量的函数象征性地获得。$x$$\alpha$$y$$\beta$$z$$\gamma$

不过，理论上，您可以在非线性方程求解器中使用该分解来找到；假设您的方程组是适定的，牛顿法（或其变体）可能会很好地工作。$\alpha, \beta, \gamma \in [0, 2\pi)$

您也可以选择使用旋转矩阵的轴角表示。然后，不是求解主旋转角，而是必须求解角度和轴使得。将约束添加到您的方程组并求解和$\alpha, \beta, \gamma$$\theta \in [0, 2\pi)$$u$$u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2} = 1$$u$$\theta$; 即使您要求解四个变量，单位范数约束的存在也意味着您实际上拥有三个自由度。这种表示还涉及三角函数，所以我不知道你将如何象征性地获得这些角度，但在数字上，它可能会工作得很好，再次假设你的方程组是适定的。

考虑形式中的方程$x^tAx=0$， 和$A$对称的。自从 $A$是对称的，我们可以写$A=VDV^t$， 在哪里$V$是正交的，并且 $D$是其特征值的实对角矩阵$\lambda_i$. 随着变量的变化$y=V^tx$, 我们有方程

$$\sum_i \lambda_i y_i^2 = 0.$$

这给出了解决方案的完整特征。按照 $z_i=y_i^2$， （以便$y_i=\pm\sqrt{z_i}$和$x=Vy$) 原问题的所有解与

$$\sum_i \lambda_i z_i = 0, \qquad \text{subject to}\ z_i\geq0.$$ 所有解决方案的集合$z$是凸的；至少有一个时它是非空的$\lambda_i$为零或至少有两个非零$\lambda_i$ 有不同的迹象。您还可以通过将索引分为具有正数、负数和零的索引来参数化解决方案集 $\lambda_i$，这使得处理约束变得容易。

通常，您将无法找到特征值的封闭形式表达式$\lambda_i$就原始矩阵而言$A$, 但这可以很容易地使用标准软件对任何给定的矩阵进行数值计算。