计算科学 - 随机非方阵多项流形的优化 - 吾爱随笔录

感谢您的注意！所以我有一个简单形式的优化问题，但决策变量是一个大规模矩阵。我的问题类似于这里关于多项式流形的现有问题，并且我的目标函数比该问题中的对应函数更简单。决策变量是一个具有非负元素的随机矩阵（每行总和为 1）。是具有非负元素的已知常数矩阵。是一个已知的常数稀疏矩阵。的每一列中恰好有一个和一个，所以 $\mathbf T \in {\bf R}^{1300\times 3100}$ $\mathbf S \in {\bf R}^{600\times 1300}$ $\mathbf L \in {\bf R}^{3100\times 9000}$ $1$ $-1$ $\mathbf L$ $\mathbf L$ 对于每一列都等于令表示上述三个矩阵的乘积，即。优化问题如下。优化函数意味着我期望得到一个矩阵尽可能类似于零矩阵，因此可以通过最小化 $0$ $\mathbf X$ $\mathbf X=\mathbf S\mathbf T\mathbf L$

minimize f (T) = \sum_{i = 1}^{600} \sum_{j = 1}^{9000} | X_{i j} |

$\text{minimize}\hspace{3mm}f(\mathbf T)=\sum_{i=1}^{600}\sum_{j=1}^{9000}|\mathrm X_{ij}|$

subject to T 1 = 1

$\text{subject to}\hspace{19mm}\mathbf T{\bf 1}=\bf{1}$

T_{i j} > 0

$\hspace{39mm}\mathrm T_{ij}>0$

X

$\mathbf X$

X

$\mathbf X$ 或其他类似形式。据我所知，我的问题在某些方面类似于最优运输。此外，考虑到矩阵的特殊性质，可能有一些技巧可以减少计算量和存储成本。我怀疑这里的Matlab中的manopt工具箱是否能够处理这种大规模的优化问题（速度不是那么重要）。我认为这里名为 pymanopt 的 python 包可能有效，但 pymanopt 目前不支持多项式流形。我打算采用可行的算法或计算环境来解决这个优化任务。如果有一些想法可以使我的任务成为可能，那么最好的方法是什么？非常感谢您的任何建议或意见。

L

$\mathbf L$