计算科学 - 如何在牛顿法中应用 Neumann 边界条件 - 吾爱随笔录

假设我有一组非常冗长乏味的微分方程。离散化后，我可以得到一个映射 $f:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$ 这样的解决方案 $\phi =(\phi_0,...,\phi_{N-1})$ 离散微分方程的零点正好是 $f$ ， IE， $f(\phi)=0$ .

现在说我想找到解决方案 $\phi$ 满足一些 Neumann 边界方程，例如，

\frac{ϕ_{1} - ϕ_{0}}{d x} = 1

$\frac{\phi_1-\phi_0}{dx}=1$ 当然，我总是可以定义另一个函数

F (ϕ) = (\frac{ϕ_{1} - ϕ_{0}}{d x} - 1, f (ϕ)) : R^{N} \to R^{N + 1}

$F(\phi)= \left(\frac{\phi_1-\phi_0}{dx} -1, f(\phi) \right):\mathbb{R}^{N} \to\mathbb{R}^{N+1}$ 只需使用牛顿法

F (ϕ)

$F(\phi)$ . 然而，由于导数/雅可比

D F

$DF$ 在这种情况下不是方阵，事情有点复杂。有没有一种简单的方法可以修改牛顿方法以结合诺伊曼条件？

事实上，在这篇文章中，OP 处理 Dirichlet 边界条件，例如， $\phi_0=0$ ,, 通过删除行 $0$ 雅可比式的 $Df$ 并将其替换为雅可比行列式 $\phi \mapsto \phi_0$ ，这就是狄拉克三角洲 $0$ ， IE， $(Df)_{0j} \mapsto \delta_{0j}$ . 这样，“修改后的”雅可比仍然是一个方阵。但是，如果我要替换行，这似乎不起作用 $0$ 的 $Df$ 与雅可比行列式 $\phi \mapsto (\phi_1-\phi_0)-dx$ ， IE， $(Df)_{0j}\mapsto \delta_{1j}-\delta_{0j}$ .

我还阅读了帖子，例如，here，他们将 Neumann 边界条件代入微分方程。然而，由于我 $f$ 映射非常冗长乏味（不仅仅是简单的二阶导数），这对我来说手动操作会有点麻烦。

应用 Neumann 边界条件是否有任何简单的替代方法？

编辑。实际上，我意识到我的代码中有一个错字。我的初始方法有效。