计算科学 - 在 3-D 中模拟第一次击球时的布朗运动？ - 吾爱随笔录

我想在以下条件下模拟 3-D 布朗运动：

p (x = 0, y = 0, z = 0, t = 0) = 1

$p(x=0,y=0,z=0,t=0)=1$

p (x, y, z = c, t) = 0

$p(x,y,z=c,t)=0$ 在哪里

p

$p$ 是在 3-D 环境中找到分子的概率。我想在 5 秒内找到吸收壁上某个区域的粒子数。可以推断，吸收边界在

z = c

$z=c$ ，我想要分子撞击中心圆形区域的概率

(0, 0, 2.5 \times 10^{- 4})

$(0,0,2.5\times10^{-4})$ 有一个半径

5 \times 10^{- 6}

$5\times10^{-6}$ 米。流体环境有漂移，即

u, v, w

$u,v,w$ 在三个方向。中的粒子

x, y, z

$x,y,z$ 方向正在移动

d X_{j} (t) = u d t + \sqrt{2 D} d B_{j} (t), d Y_{j} (t) = v d t + \sqrt{2 D} d B_{j} (t), d Z_{j} (t) = w d t + \sqrt{2 D} d B_{j} (t),

$\begin{equation} \text{d}X_j(t)=u\text{d}t+\sqrt{2D}\text{d}B_j(t),\\ \text{d}Y_j(t)=v\text{d}t+\sqrt{2D}\text{d}B_j(t),\\ \text{d}Z_j(t)=w\text{d}t+\sqrt{2D}\text{d}B_j(t), \end{equation}$ 在哪里

d B

$\text{d}B$ 是我通过正态随机变量模拟的布朗过程的导数。

我正在使用以下 MATLAB 代码来模拟粒子扩散：

close all; 
clear all;
clc;
TotalNumberReceivedUp=0;
Ts=5;
TotalSimulations1=100000;
flg=0;
for particlesNum=1:TotalSimulations1
flg=flg+1
D=4*10^-9; 
c=250*10^-6;u=5*10^-6;v=2*10^-6;w=3*10^-6; 
e=5*10^-6;
X=zeros;Y=zeros;Z=zeros;
X(1)=0;Y(1)=0;Z(1)=0;
j=1;
for i=5*10^-4:5*10^-4:Ts
t2=i;    
t1=t2-5*10^-4;
j=j+1;
r = normrnd(0,1);
q= normrnd(0,1);
p= normrnd(0,1);
X(j)=X(j-1)+(sqrt(2*D))*sqrt(t2-t1)*p+u*(t2-t1);
Y(j)=Y(j-1)+(sqrt(2*D))*sqrt(t2-t1)*q+v*(t2-t1);
Z(j)=Z(j-1)+(sqrt(2*D))*sqrt(t2-t1)*r+w*(t2-t1);
if ((Z(j)>=c) && ...
    (sqrt((X(j))^2+(Y(j))^2)<=e))
TotalNumberReceivedUp=TotalNumberReceivedUp+1;
break
end
end
end
ProbabilityUp=TotalNumberReceivedUp/TotalSimulations1

但是我的结果并不好，可能撞击的粒子比我通过分析得到的要多。我认为这可能是因为在“模拟扩散过程的四种方法的比较”中讨论过的边界问题，用于具有两个吸收障碍的一维运动。我曾尝试在 3-D 中使用相同的因子，但效果不佳。