当存在金属物体时，我想尝试为 2D 静电泊松方程实现基于有限差分的求解器。另外，我希望将电荷的位置及其大小作为输入。

为了简单起见，我考虑了一个矩形域，我尝试在其中求解方程。

像这样的东西

（红点表示收费）

我有以下三点想得到一些建议：

1) 金属物体上各点的条件：

对于物体（可能是贝壳或填充物），我打算使用金属是等电位的事实。为了将其带入矩阵方程，我的想法是：给定一个对象，在其中/上面选择一个点作为参考，并将所有其他点的电位设置为等于该点的电位。

对于选择作为参考的点我应该使用什么条件，我有点迷茫，因为拉普拉斯方程不适用。目前，我假设拉普拉斯方程在这些参考点上成立。 有没有另一种方式来表达物体是等势的？

2) 边界条件：

我研究了一些表面积分方程；如果我假设域内的潜力是$\phi_{1}$，而在外面，它是$\phi_{2}$，则以下边界条件成立：

$$\oint_{S2}[\phi_{2}\nabla g(r,r')-g(r,r')\nabla\phi_{2}]\cdot\hat{n_{2}}dS= -\oint_{S1}[\phi_{2}\nabla g(r,r')-g(r,r')\nabla\phi_{2}]\cdot\hat{n_{1}}dS$$ 如果$r'$位于两个曲面所包围的区域之外，而 r 在其内部或边界上。积分是针对变量完成的$r$.

这里，$g(r,r')$是自由空间中二维泊松方程的格林函数，即满足方程

$$\nabla^{2}g(r,r') = \delta(\lvert r-r'\rvert)$$

对于这个问题，$g(r,r') = \frac{1}{2\pi}log(\lvert r-r'\rvert)+C$

（假设$\phi_{1}$在域外为零，并且$\phi_{2}$在域内为零。在共同边界上（$S1$)，它们具有相同的值)

$\hat{n_{1}}$是表面的法线$S_{1}$指向被包围的体积之外的区域$S_{1}$和$S_{2}$.

但是，我将不胜感激有关替代边界条件的任何建议，因为这个积分使我原本稀疏的矩阵变得密集。

我基本上想通过这个积分来强制执行的是边界之外没有对象或来源或任何东西；即，域是对所考虑空间的人为限制。

有谁知道执行相同任务的电势边界条件，但类似于电磁学中的 Robin BC？

3）矩阵求解器：

由于这个问题会生成一个足够大（但有些稀疏）的矩阵，我应该使用直接求解器，还是应该选择迭代求解器？从我为这个问题所做的一些初步实现中，矩阵通常是$10000 \times 10000$或该顺序的某个地方；积分条件使矩阵稠密。

我将非常感谢这方面的帮助，因为我已经花了一个月的时间来解决这个问题。另外，我反对在这个问题上使用 FEM，因为这太麻烦而无法实现。

如果有人想要我的代码来解决问题（我已经在 Fortran 2003 中编写了它），我可以为此提供一个 Google Drive 链接。）