计算科学 - 使用数值方法和 matlab 求解微分方程 - 吾爱随笔录

(a) 考虑以下微分方程

Y^{'} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}} - 2 [Y (t)]^{2}

$Y'(t)=\frac{1}{1+t^{2}}-2[Y(t)]^2$

Y (0) = 0

$Y(0)=0$

确切的解决方案是

Y (t) = \frac{t}{1 + t^{2}}

$Y(t)=\frac{t}{1+t^2}$

使用欧拉法在matlab的帮助下求解以下微分方程（代码如下），运行程序为 $t=10$ 和 $h=0.1$ 计算错误。然后运行它 $h=0.05$ 计算误差并注意它是如何变化的。然后使用理查森外推法来提高准确性。计算误差。

function y=Euler(t,h,y0,t0)

  n=floor((t-t0)/h);
  y=y0;
  for i=1:n
      y=y+h*f(t0+h*(i-1),y);
  end;


function f=f(t,y)

f=1/(1+t^2)-2*y^2;
return;

(b) 现在使用 Runge-Kutta 方法求解 (a) 部分中的微分方程，运行程序 $t=10$ 和 $h=0.1$ 与（a）部分相比，该误差应减少。解释区别。再次运行它 $h=0.05$ 并注意错误是如何改变的。使用 Richardson 外推法来提高准确性并计算误差。

function y=Runge_Kutta(t,h,y0,t0)

  n=floor((t-t0)/h);
  y=y0;
  for i=1:n
          t=t0+h*(i-1);
          y=y+(h/2)*(f(t,y)+f(t+h,y+h*f(t,y)));
  end;


function f=f(t,y)

f=1/(1+t^2)-2*y^2;
return;

我试过的

(a) 当我以步长运行程序时 $0.1$ 我有一个错误 $0.0986$ 但是当我以步长运行它时 $0.05$ ，我有一个错误 $0.0988$ 这对我来说很有意义，因为较小的步长应该会产生较小的错误，但在这种情况下它不会出现。（代码没有任何问题，因为它是由我的教授给出的）。谁能给我解释一下。谢谢

(b) 当我再次运行这部分的程序时，我得到了一个错误 $0.0990$ 对于两个步长 $0.1$ 和 $0.05$ 这比部分（a）的大，这对我来说是有意义的，因为龙格-库塔方法应该比欧拉方法更准确，因此误差更小，但在这种情况下似乎如此。谁能向我解释这里出了什么问题。谢谢