就像@sansuiso 所说，压缩感知是一种获取信号的方式，如果信号稀疏或可压缩，这种方式恰好是有效的。

压缩感知是有效的，因为信号是多路复用的，因此多路复用样本（称为测量）的数量小于香农奈奎斯特所需的样本数量，其中对信号没有强假设。

在无噪声情况下，可以证明压缩感知重建求解器可以恢复精确解。

在可压缩情况下，与严格稀疏情况相反，可以证明重建误差是有界的。

是的，大多数信号，包括超声波，在某种程度上要么是稀疏的，要么是可压缩的。它通常归结为找出信号稀疏的字典。领域专家一般都知道这些事情。

您遇到的有趣问题是：假设您有一个非稀疏信号，然后添加零使其稀疏，然后使用压缩感知对该信号进行采样，这难道不比直接采样整个信号更好吗？

答案是不。

事实证明，CS 工作的采样要求比仅对原始（全/非零）信号执行全采样需要更多信息。换言之，所需的 CS 测量次数将高于信号中非零元素的数量。通过对信号进行稀疏化，您会故意“丢失”有关信号支持位置的信息（即非零）。压缩感知和伴随的重建求解器的难点在于找到信号中那些非零元素所在的位置：如果您事先知道这些非零元素的位置，那么就没有必要采用效率较低的方法采样该信号。实际上，找到信号的非零元素的位置是我们谈论压缩感知是 NP-Hard 的原因，

让我换一种说法：让我们假设一个信号有 K 个非零分量。如果你知道这 K 个元素的位置，那么你只需要 K 个信息就可以知道你的信号。如果您在信号的任意位置添加零并生成大小为 N 的信号，您现在需要通过传统采样对信号进行 N 次采样，或者使用压缩传感方法对信号进行 O(Klog(K/N)) 次采样。由于 O(Klog(K/N) > K，丢失有关非零元素位置的信息会产生更大的样本/测量集。

您可能有兴趣阅读我关于该主题的小型博客：http: //nuit-blanche.blogspot.com/search/label/CS 以及以下资源： http: //nuit-blanche.blogspot.com/p/teaching -compressed-sensing.html

这里有两件事：稀疏和压缩感知。

稀疏性是一个普遍的假设，只是声称一个信号的大部分能量都存储在良好的基础上的少数系数中。这很直观，看傅里叶变换或小波变换。这可能适用于任何感兴趣的信号（图像、声音......），并解释了 jpeg 或 mp3 压缩工作的原因。

在ICIP'11上引用JL Starck的话（在他的全体演讲之后的提问中）：

压缩感知是一个定理。

他的意思是，压缩感知是一组结果，只要您拥有良好的感知矩阵，即您的测量具有一些不错的特性（有人向我解释为一种多路复用传感）。重构算法在重构过程中使用信号的稀疏性作为附加信息，通常通过在某些小波基中最小化信号的 L1 范数（回想一下，L0-范数约束的恢复问题通常是不可解的，因为它是 NP-难的）。

我不是压缩感知方面的专家，但我对它有些熟悉。

我在某处听说压缩感知只能用于稀疏信号。这是正确的吗？

不，它可以在任何地方使用，但正如 Dilip 所说，它只对稀疏信号有意义。如果信号不是稀疏的，那么没有理由不进行标准奈奎斯特采样，因为这样会很有效。

您如何区分稀疏信号和任何带限信号？

尽管我确信那里有“稀疏性”的正式定义（它们可能也不相同），但我不知道正式定义。人们所说的稀疏性往往会根据上下文而改变。

我想说，稀疏信号是指任何信息（使用该词的信息论定义）内容比它连续并充分利用其频率范围时可能具有的内容低得多的信号。稀疏信号的一些例子是什么？跳频信号。突发信号。一种对讲机 AM 信号，即使没有人说话，也会持续传输。

每个信号都可以扩展为包括稀疏或零系数信号部分......

什么，比如说信号是 100 MHz 宽，即使它只有 1 MHz 宽？您可以将事物定义为您想要的任何东西，就像过去的天文学家能够让太阳绕地球运行的数学运算一样。这并不意味着他们的方程式有用。

压缩感知是否始终完美地检索信息或信号？

压缩感知是一种技术。像任何技术（包括奈奎斯特采样）一样，它具有条件。如果你满足条件——对你试图感知的信号使用好的特征提取器——它会很好地工作。如果你不这样做，它就不会。没有任何技术可以完美地提取理论模型之外的任何信号。是的，我确信压缩感知可以完美提取理论信号。

并不是说它只适用于稀疏信号，但是您已经找到了信号几乎稀疏的域（所有自然发生的信号在某些域中都是稀疏的，除了随机噪声）。在某些域中，信号可以用更少的测量值进行近似，所有其他测量值将相对较小，因此您可以安全地丢弃它们。