信息处理 - 如何使用 ADMM 解决全变差先验图像去噪？ - 吾爱随笔录

如何使用 ADMM 解决全变差先验图像去噪？

信息处理图像处理 matlab 去噪优化全变

2022-01-06 06:55:15

我正在查看一些关于使用 Total Variation norm 去噪图像的文章或维基百科。设置为 Rudin Osher Fatemi (ROF) 方案，对应的方程为：

F (u) = \int_{Ω} | D u | + λ \int_{Ω} (K u - f)^{2} d x

$F(u)=\int_{\Omega}|D u|+\lambda \int_{\Omega}(K u-f)^{2} d x$

一些来源提到使用 ADMM 优化器来解决这个去噪问题。但我希望有人能够指导我使用一些代码来展示这种方法的实现。MATLAB、Julia 或 Python 中的代码会非常好，只是入门的东西。

谢谢。

2个回答

去噪问题的公式化

问题由下式给出：

\arg min_{x} \frac{1}{2} {‖ x - y ‖}_{2}^{2} + λ TV (x) = \arg min_{x} \frac{1}{2} {‖ x - y ‖}_{2}^{2} + λ {‖ D x ‖}_{1}

$\arg \min_{x} \frac{1}{2} {\left\| x - y \right\|}_{2}^{2} + \lambda \operatorname{TV} \left( x \right) = \arg \min_{x} \frac{1}{2} {\left\| x - y \right\|}_{2}^{2} + \lambda {\left\| D x \right\|}_{1}$

其中 $D$ 是列堆叠导数运算符。

在上面我使用了Anisotropic TV Norm。

ADMM 的解决方案

ADMM 问题将被表述为：

\begin{aligned} \arg min_{x, z} & \frac{1}{2} {‖ x - y ‖}_{2}^{2} + λ {‖ z ‖}_{1} \\ subject to & D x = z \end{aligned}

$\begin{aligned} \arg \min_{x, z} \quad & \frac{1}{2} {\left\| x - y \right\|}_{2}^{2} + \lambda {\left\| z \right\|}_{1} \\ \text{subject to} \quad & D x = z \end{aligned}$

ADMM 将有 3 个步骤：

vX = mC \ (vY + (paramRho * mD.' * (vZ - vU)));.
vZ = ProxL1(mD * vX + vU, paramLambda / paramRho);.
vU = vU + mD * vX - vZ;.

哪里mC = decomposition(mI + paramRho * (mD.' * mD), 'chol');。

我在 MATLAB 函数中编写了这个解决方案 - SolveProxTvAdmm().
我将它与 CVX 的参考文献进行了比较：

完整代码可在我的StackExchange Signal Processing Q75231 GitHub 存储库中找到。

备注：对于去模糊问题，打开一个新问题，我也会发布一个代码。

我自己做了一点，你需要适应。
有一个 Douglas Rachford 自己实现的和一个原始的双重方法，这里在通过压缩传感恢复融合帧结构化信号中实现。

请注意，Clarice Poon（巴斯大学）有一些很好的教程。

另一个来源是Gabriel Peyre 的 Numerical Tours。请参阅Sobolev 去噪和总变差正则化。

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