信息处理 - 具有非零均值噪声的最小二乘 - 吾爱随笔录

信息处理过滤器过滤器设计噪音最小二乘

2022-01-09 08:08:36

如果噪声没有零均值会发生什么？我的意思是，如果练习是这样的：

y (k) = A x + η (k)

$y(k) = A x + \eta(k)$

当我的均值为零时，我从：使用代数，我得到这个等式：

y = A x

$y = A x$

\Rightarrow \hat{y} = A \hat{x}

$\Rightarrow \hat{y} = A \hat{x}$

A^{H} y = A^{H} A \hat{x}

$A^H y = A^H A \hat{x}$

但是，如果它没有零均值会发生什么？我想我必须使用以下内积：但我不知道如何从中得出一个等式。

⟨ x, y ⟩ = E [(x - E [x])^{H} (x - E [x])]

$\langle x,y \rangle = \mathbb{E}[(x-\mathbb{E}[x])^H(x-\mathbb{E}[x])]$

谢谢！

2个回答

由于这是一个线性模型，如果您添加未居中的噪声（非零均值噪声），您的估计将符合偏差项。

这样做的简单方法是消除的偏差并求解。 $y$

如果您知道添加噪声的平均值，只需将其从测量中移除，您的模型就会成为经典的线性最小二乘法。

如果你不知道，你必须估计它。您可以分两步解决问题，即估计、移除、求解经典线性最小二乘，或者构建一个模型来估计噪声并立即求解最小二乘。

(A^{T} A)^{- 1} A^{T} (y + n o i s e) = \hat{x}

$(A^TA)^{-1}A^T(y + noise) = \hat x$

其中大小相同的向量，所有元素都等于未知常数。就这些。您可以以显式形式将估计的解决方案作为噪声平均位置的函数。 $noise$ $y$

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