我正在寻找一种算法来测量离散信号 $s[t]$ 的衰减。从信号序列的开头开始，是否可以计算滑动 DFT 或 Gabor 变换窗口并使用幅度和相位信息来计算衰减系数？这种算法有参考资料吗？我想知道类似的算法是否已应用于音乐 DSP。

是否为频域信号的实部和复部计算了单独的衰减系数？

以下是一些进一步的细节：

1. 对于每个窗口，我想计算信号的衰减。因此，对于每个 $\tau$，其中 $\tau$ 是窗口的中心，我得到了窗口宽度上的衰减估计值。当窗口在信号 $s[t]$ 上移动时，我得到衰减 $\alpha[\tau]$ 的估计值作为窗口中心的函数。
2. 滑动 DFT 用于计算效率（链接），我认为使用滑动 DFT 可能还有其他好处。我应该在时域中应用布莱克曼/汉宁窗吗？或者也许 Gabor 变换就足够了。
3. $s[t]$ 被认为包含一个感兴趣的信号。
4. 衰减系数可以用实部和复部来表示，并且可以以dB为单位报告。这是一个等式：

$A = A_0 \exp[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$

$A$是$\tau_k$时刻的幅度和相位，$A_0$是一些参考幅度和相位，$\alpha$是衰减系数，$\tau$是窗口中心的时间，$ \omega$ 是角频率。

如何定义参考幅度和相位 $A_0$？也许 $A_0$ 会在信号的开头定义。或者也许 $A_0$ 会在每个窗口的开头定义？此外，如何处理信号频谱中的尖峰？也许某种平滑算法在这里会有所帮助？

此外，也许衰减可以使用信号包络检测器来确定？我该如何设置？

更新

我认为这个问题可能与分离两个加在一起的信号有关。我们不知道参考幅度$A_0$，它可能会随着时间而改变。拿：

$A[\tau, \omega] = A_0[\tau, \omega]\exp[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$

$\log(A[\tau, \omega]) = \log(A_0[\tau, \omega]) + [\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$

以下是一些假设：

1. $A_0[\tau, \omega]$ 是未知的，但可以假设它与 $[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$ 不相关。$A_0[\tau, \omega]$ 的带宽不同于 $[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$ 的带宽。（我认为这是合理的。） $[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$ 表达式的带宽是已知的。
2. 对于每个 $\tau$，$\alpha$ 是常数。
3. $A[\tau, \omega]$ 使用短时傅里叶变换或 Gabor 变换计算。
4. $A[\tau, \omega]$ 和 $A_0[\tau, \omega]$ 的包络不是恒定的。然而，$\exp[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\alpha }}]$ 只是一个方程。那么我可以将 $A_0$ 视为简单的“噪音”或其他东西吗？
5. $A_0[\tau, \omega]$ 和 $A[\tau, \omega]$ 是复数。衰减$\alpha$ 是一个实数。

有人可以帮我建立数学（即矩阵方程吗？）或将我指向正确的方向来一类算法？ 我认为这个问题与分离两个信号非常相似。

也许这可以使用卡尔曼滤波器来完成，其中 $\log(A_0[\tau, \omega])$ 被视为“噪声”，而 $[\frac{{ - \omega \tau }}{{2\ alpha }}]$ 术语被视为信号。这是合理的吗？关于这个过滤器的实现是否有很好的参考？也许另一个过滤器会更合适？

操作的输出将是衰减相对于时间的图表，如下所示。我还展示了添加两个信号的 Gabor 变换操作。

更新

为了进一步探索这个问题，我选择了一个测试信号并编写了一个程序，使用一个模拟我想要确定的衰减的内核对测试信号进行前向滤波。我使用声纳和声学传感系统，因此选择此信号表明我正在使用什么。

这是时域中的测试信号图。这是一个没有衰减的信号：

这是没有衰减的信号的 Gabor 变换（频谱图）：

这是我应用滤波器模拟衰减后的测试信号图。这是一个具有恒定衰减的信号，使得 $\alpha(\tau) = 55$：

这是带有衰减的信号的 Gabor 变换（频谱图）。请注意频谱图中的指数衰减：

看前向滤波器内核的绝对值，指数衰减非常明显。注意一些频率比其他频率衰减得更多。前向滤波器内核具有实数和复数部分。下图只是前向滤波器内核的绝对值。滤波器内核的数值越高（接近 1.0），衰减越小。滤波器内核的数值越低（接近 0），衰减越多。

以下是通过与原始 Gabor 变换信号相乘应用的滤波器内核 $k(\tau, \omega)$ 的数学形式：

$k(\tau ,\omega ) = \frac{1}{{\Lambda (\tau ,\omega )}}\exp \left[ {i\int\limits_0^\tau {{{\left( {\ frac{\omega }{{{\omega _h}}}} \right)}^{\frac{1}{{\pi \alpha (\tau ')}}}}\omega d\tau '} } \对]$

$\Lambda (\tau ,\omega ) = \frac{{\beta (\tau ,\omega ) + {\sigma ^2}}}{{{\beta ^2}(\tau ,\omega ) + { \sigma ^2}}}$

$\beta (\tau ,\omega ) = \exp \left[ { - \int\limits_0^\tau {\frac{\omega }{{2\alpha (\tau ')}}{{\left( { \frac{\omega }{{{\omega _h}}}} \right)}^{\frac{{ - 1}}{{\pi \alpha (\tau ')}}}}d\tau '} } \右]$

在上面，$\omega、\omega_h、\sigma、\tau$ 都是已知的，为简单起见，我设置了整个信号的衰减 $\alpha(\tau) = 55$。

我想找到衰减 $\alpha(\tau)$ 作为时间 $\tau$ 的函数，但 $\alpha(\tau)$ 不必是恒定的，并且可以在 $\tau$ 上变化。

我认为滤波器内核是“平滑的”，而原始信号不是。

有没有办法确定衰减 $\alpha(\tau)$，即使是不精确的方式？

在这里，我对随时间变化的 $\alpha(\tau)$ 重复相同的实验。这是我期望 $\alpha(\tau, \omega)$ 的模型（但曲线也可以是具有负斜率的线性，或者完全是其他东西）：

为了说明起见，这里又是原始的（未过滤的）轨迹。这是一个没有衰减的信号：

这是一个带有衰减的信号，其中 $\alpha(\tau)$ 随时间变化：

这是过滤器内核的绝对值，其中 $\alpha(\tau)$ 随时间变化。请注意，这里仍然存在指数衰减：

另一种观点

现在我意识到 Gabor 变换域中的前向滤波器由下式给出：

$A(\tau, \omega) = A_0(\tau, \omega)k(\tau, \omega)$

所以衰减轨迹是$A(\tau, \omega)$，$A_0(\tau, \omega)$是非衰减轨迹，$k(\tau, \omega)$是滤波器核。给定$A(\tau, \omega)$，而不是$A_0(\tau, \omega)$，我想估计$\alpha(\tau)$，即随时间的衰减函数。在这种情况下，我知道过滤器内核 $k(\tau, \omega)$ 的数值形式，但我不知道 $\alpha(\tau)$。这就是为什么我想知道卡尔曼滤波是否有利于在这类问题中使用。也许 $A_0(\tau, \omega)$ 可以被视为与内核 $k(\tau, \omega)$ 不相关的噪声。

看着衰减的频谱图，我想起了图像“去模糊”算法。由于内核是“平滑的”而原始信号 $A_0(\tau, \omega)$ 不是，因此可能以某种方式将 $A_0(\tau, \omega)$ 从内核 $k(\tau ,\omega)$ 使用某种算法。

如果我可以将$A_0(\tau, \omega)$ 与内核$k(\tau,\omega)$ 分开，那么我认为可以估计$\alpha(\tau)$。

更新

这是实际数据的频谱图。上面的数据集是合成的，而这个频谱图是从实际实验中收集的。