我认为模拟将是这里最好的方法。请阅读这些问题，其中包含有关使用 Schockley 二极管方程模拟 LED 的信息。

使用 Shockley 二极管方程进行 LED 建模

如何使用 SPICE 对 LED 进行建模？

这个网站上的电路编辑器也有一个模拟器。我在下面添加了一个示意图，可以作为您想要进行的模拟的起点。您将需要进行时域或瞬态分析。还有其他免费的模拟器（例如 LTSpice）。

我使用了默认的 LED 组件。但如果您在电路编辑器中打开电路，您可以更改 LED 参数，然后运行仿真。你看起来很聪明，我希望这对你来说是足够的信息。要走得更远，我将不得不自己 100% 自己解决问题，但由于时间投入，我犹豫不决。

^{模拟此电路- 使用CircuitLab创建的原理图}

V1 是阶跃电压。我对其进行了编辑以将步长设置为 9V。这意味着在 0 秒的时间，电压从 0 变为 9V。这类似于您所说的电容器最初放电的电路。

您可以使用 KVL 或联立 KCL 方程的组合来求解此电路。但是@Transistor 已经向您展示了一种更好地可视化问题的方法：而是在电容器已经充电的情况下观察它，然后观察它放电到剩余的电路中，而不是观察放电的电容器充电。这确实用一个更简单但等效的问题代替了您的问题。

我将在下面坚持这种方法。

正向偏置二极管有三个重要的模型参数：串联欧姆电阻\$R_\text{ON}\$、饱和电流\$I_\text{SAT}\$和理想因子\$\eta \$。肖克利二极管方程（每次我写下他的名字都让我想添加一些历史，因为其他人应该得到很多他们没有收到的东西），是：

$$I_\text{D}=I_\text{SAT}\cdot\left(\exp\left[\frac{V_\text{D}}{\eta\,V_T}\right]-1\right) $$

（其中\$V_T=\frac{k\,T}{q}\$在室温下约为 25-26 毫伏，您必须始终牢记 \$I_\text{SAT}\$本身是温度的强函数——如此强且与\$V_T\$的方向相反，以至于它与温度相关的影响完全颠倒了您从上述等式中可能想象的结果。）

要包括\$R_\text{ON}\$的影响，我们需要添加其上的电压降，以便：

$$V_\text{D}^{'}=V_\text{D}+I_\text{D}\cdot R_\text{ON}$$

\$V_\text{D}^{'}\$将是我们用电压表测量的二极管两端的电压。

当然，我们现在也可以添加由您的外部串联电阻\$R\$引起的额外电压降，因为它大致相同。在这种情况下，该电压将是电容器电压（牢记@Transistor 的概念）：

$$V_\text{C}=V_\text{D}+I_\text{D}\cdot R_\text{ON}+I_\text{D}\cdot R$$

我们现在所做的就是添加两个欧姆电压降，一个在二极管内部，一个在二极管外部，以便获得电容器两端的电压。让我们解决上面的\$V_\text{D}\$并将结果代入 Shockley 二极管方程：

$$I_\text{D}=I_\text{SAT}\cdot\left(\exp\left[\frac{V_\text{C}-I_\text{D}\cdot R_\text{ON}- I_\text{D}\cdot R}{\eta\,V_T}\right]-1\right)$$

这个等式还是有问题的。二极管电流\$I_\text{D}\$出现在两个位置。让我们解决它，让它只出现一次。

但首先，我想定义一个特殊变量来表示欧姆部件和热电压\$V_T\$的影响到一个位置。这样做会减少方程的混乱。我将把它称为欧姆热电流，\$I_{\Omega_T}=\frac{\eta\,V_T}{R_\text{ON}+R}\$。鉴于此，我们有：

$$ \begin{align*} I_\text{D} &= I_{\text{SAT}}\cdot \left(e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta \:V_T}-\frac{I_\text{D}}{I_{\Omega_T}}\right]}}-1\right)\\\\ I_\text{D}+I_{\text{SAT} } &= I_{\text{SAT}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}-\frac{I_\text{D}}{ I_{\Omega_T}}\right]}}\\\\\left(I_\text{D}+I_{\text{SAT}}\right)\cdot e^{^\frac{I_\text{D }}{I_{\Omega_T}}} &= I_{\text{SAT}}\cdot e^{^\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}}\\\\ \frac {I_\text{D}+I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^\frac{I_\text{D}}{I_{\Omega_T}}} &= \frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}}\\\\ \frac{ I_\text{D}+I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^\frac{I_\text{D}}{I_{\Omega_T}}}\cdot e ^{^\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}} &= \frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^ \frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}}\cdot e^{^\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}}\\\\\frac{I_\text{D}+I_{\text{SAT} }}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^\frac{I_\text{D}+I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}} &= \frac{I_{\ text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}-\frac{I_{\text{SAT }}}{I_{\Omega_T}}\right]}}\\\\\operatorname{LambertW}\left(\frac{I_\text{D}+I_{\text{SAT}}}{I_{\ Omega_T}}\cdot e^{^\frac{I_\text{D}+I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}}\right) &= \operatorname{LambertW}\left(\ frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}-\frac{I_ {\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\right]}}\right)\\\\\frac{I_\text{D}+I_{\text{SAT}}}{I_{\ Omega_T}} &= \operatorname{LambertW}\left(\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C }}{\eta\:V_T}-\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\right]}}\right）\\\\ I_\text{D} &= I_{\Omega_T}\cdot \operatorname{LambertW}\left(\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\ text{C}}{\eta\:V_T}-\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\right]}}\right）-I_{\text{SAT}}\标签{1} \end{align*} $$

现在您有了一个将电容器电压与二极管电流相关联的“简单”方程式（这与所有设备的串联回路电流相同。）

由于\$I_\text{C}=I_\text{D}=C\cdot\frac{\text{d}\,V_\text{C}}{\text{d}t}\$

您现在可以将内容重写为（请记住，电容器电压的变化率对于正电流将为负）：

$$ \begin{align*} -C\cdot\frac{\text{d}\,V_\text{C}}{\text{d}t} &= I_{\Omega_T}\cdot \operatorname{LambertW }\left(\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T} -\frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\right]}}\right)-I_{\text{SAT}}\\\\ -\frac{\text{d} \,V_\text{C}}{\text{d}t} &= \frac{I_{\Omega_T}}{C}\cdot \operatorname{LambertW}\left(\frac{I_{\text{SAT }}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}-\frac{I_{\text{SAT}}} {I_{\Omega_T}}\right]}}\right)-\frac{I_{\text{SAT}}}{C}\\\\\frac{\text{d}\,V_\text{C }}{\text{d}t} &= \frac{I_{\text{SAT}}}{C}-\frac{I_{\Omega_T}}{C}\cdot \operatorname{LambertW}\left( \frac{I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\cdot e^{^{\left[\frac{V_\text{C}}{\eta\:V_T}-\frac{ I_{\text{SAT}}}{I_{\Omega_T}}\right]}}\right)\tag{2} \end{align*} $$

现在你有了一个方程，它告诉你电容器电压的变化率是电容器电压（方程 2）和电路电流（方程 1）的函数！在两者之间，您可以使用微小的时间步长进行迭代，以实现二极管电流随时间的变化。或者您可以执行等式中指示的积分。2 看看你是否可以计算出电流的封闭时间函数。

但这就是我想去的地方。希望它向您展示了问题的复杂性以及在提供封闭方程形式时引入了 LambertW 函数的概念。

现在您知道为什么工程师使用推理方法进行近似了。（当然，这与纯数学家所做的完全相反！他们会寻找解决方案，看看它是否为其他人照亮了一些新的数学领域！如果其中有任何一个，他们一点也不在乎实际意义。这两种类型之间有很大的不同，在这方面。）对我来说，我只是喜欢向人们介绍 LambertW 函数。我认为它没有得到足够的新闻。

如果有任何帮助，您可以使用 CircuitLab 模拟器。

^{模拟此电路- 使用CircuitLab创建的原理图}

图 1. 使用延时开关启动的模拟电路。

图 2. 仿真结果。

您必须决定 LED 处于“关闭”状态的电流。

您可以轻松地手动分析此电路，无需模拟任何东西。

1. 电池有 9V，LED 有 2V 的正向电压，剩下 7V 通过 450Ω 电阻器为电容器充电。

2. 电容器最初是空的，因此整个 7V 压降在电阻器上。根据欧姆定律，这会产生 15mA 的电流。

3. 电阻和电容的时间常数为0.45秒（=1mF*450Ω）。经过一个时间常数后，电流已降至初始电流的 1/e (=37%)。在两个时间常数之后，电流下降到 1/e² (=14%)。经过三个时间常数后，电流下降到 1/e³ (=5%)。

当电流低于 7.5μA 时 LED 会停止发射有用的光，这一点将在 7.6 个时间常数或 3.4 秒后达到。

使这种简单计算成为可能的关键简化是将二极管正向电压视为恒定，这样它将有效电容器充电电压从 9V 降至 7V，但对充电电流没有影响。此答案中提供的计算（开始时为 15mA，0.45s 后为 5.5mA，0.9s 后为 2mA，3.4s 后为 7.5μA）与其他答案中提供的模拟结果非常吻合。

如果使用 1.6V 正向电压和 20Ω 串联电阻对二极管进行建模，则可以使计算更加准确。这考虑了正向电压从无电流时的 1.6V 上升到 20mA 时的 2V 的影响。为了分析，你有一个 1.6V 二极管和 470Ω 电阻器，而不是一个 2V 二极管和 450Ω 电阻器，但其他计算是相同的。