我正在尝试实现一个涉及计算值的定点例程对于小那接近. 目标架构是FPGA。一个问题是这个函数本身并不适合泰勒展开式的使用。可以看出，对于较小的 x 值，当方法，因此使用幂级数评估函数涉及将大系数与小系数相乘. 因此，这种方法在数值上是不稳定的。
使用迭代方法，Newton-Raphson 产生以下迭代方程：, 我们试图近似的地方. 但再一次，因为是小，同样必须很小才能使解决方案收敛。由于该等式涉及将一个小数除以另一个小数，因此定点算术很可能会失败。
有了这个，我想知道如何实现小值近似使用定点算术，使用预先计算的系数或迭代方法。
我以前使用过的例程（我不知道它是否是“适当的”例程）是一种分而治之的方法。
您从一个任意的上限值和下限值开始（分别为 5 和 0 - 您想要找到的最高和最低平方根）并找到它们之间的中点。平方该值。
如果平方值大于您的目标，请将上限值设置为您的平方值。如果它较低，则设置较低的值。
重复直到平方值与您的查找值匹配，或者您已经执行了足够的迭代以达到您想要的准确度。
这是我在 perl 中拼凑的一个小版本：
#!/usr/bin/perl
my $val = shift;
my $max = 5;
my $min = 0;
my $iterations = 0;
my $maxiter = 40;
while(($max > $min) and ($iterations<$maxiter))
{
$iterations++;
my $diff = $min + ($max - $min) / 2;
my $square = $diff * $diff;
if($square == $val)
{
print "Square root found at $diff\n";
print "$iterations iterations\n";
exit(0);
} else {
if($square > $val)
{
$max = $diff;
} else {
$min = $diff;
}
}
}
my $diff = $min + ($max - $min) / 2;
print "Approximate square root after $iterations iterations: $diff\n";
这当然是使用浮点，但可以很容易地适应定点。您可以通过更改迭代限制来改变精度。每次迭代都比前一次更准确。
例如： - 求 9 的平方根：
Approximate square root after 40 iterations: 2.99999999999955
- or -
Approximate square root after 10 iterations: 3.00048828125
- or -
Approximate square root after 5 iterations: 3.046875
如果它找到了值 3，它当然会提前停止。
给它足够的迭代，它应该得到非常准确：
./sqrt.pl 0.00284
Square root found at 0.0532916503778969
59 iterations
您没有指定“小值”或“近似值”的含义。所以我要提出的建议可能行不通，但就这样吧。
最简单的事情是制作一个查找表。本质上是一个 ROM，其中地址总线是您想要平方根的数字，数据输出是结果。使用单个 BRAM，您可以执行 9 位输入、8 位输出 LUT。当然，更多的 BRAM 会给你一张更大的桌子。
（BRAM = 块 RAM 的 Xilinx 术语，也可以用作 ROM。其他 FPGA 也有类似的东西。）
如果您想要比 BRAM 更高的精度，您可以对两个 LUT 条目进行简单的线性插值。例如，假设您想要一个 12 位输入，但您只有 10 位的 BRAM。您获取输入的前 10 位并在 LUT 中查找。将这 10 位加 1 并查找该值。然后，您在两个结果之间进行简单的线性插值，使用底部 2 位来告诉您一个值与另一个值的比例。当然，这只会给您一个近似值，但我认为如果您进行数学运算，您会发现它可能已经足够好了。
这种方法对低值数字最不准确，但随着输入值变高，准确度会上升。
上述方法的优化是将 BRAM 用作双端口 ROM。通过这种方式，您可以在不增加使用的 BRAM 数量的情况下读出两个值。这也将允许您计算每个时钟周期的 SQRT，并带有一些流水线延迟。
顺便说一句，这种方法也适用于正弦/余弦！
尝试以下方法
x <<= 2在 C 中），直到它在上述范围内。