1. 为什么要包含线性项？

注意到二次关系可以用两种方式编写是很有启发性的：

$$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 = a_2(x - b)^2 + c$$

（其中，相等系数，我们发现和）。值对应于关系的全局极值（在几何上，它定位抛物线的顶点）。$-2a_2 b = a_1$$a_2 b^2 + c = a_0$$x=b$

如果您不包括线性项，则可能性减少到$a_1 x$

$$y = a_0 + a_2 x^2 = a_2(x - 0)^2 + c$$

（现在，显然并且假设模型包含一个常数项）。也就是说，您强制。$c = a_0$$a_0$$b=0$

鉴于此，问题 #1 归结为您是否确定全局极值必须出现在处。如果是，那么您可以放心地省略线性项。否则，您必须包含它。$x=0$$a_1 x$

2. 如何理解包含或排除术语时意义的变化？

这在https://stats.stackexchange.com/a/28493的相关线程中进行了详细讨论。

在本例中，的意义表示关系中存在曲率，的意义表示不为零：听起来您需要包括这两项（当然还有常数）。$a_2$$a_1$$b$

@whuber 在这里给出了一个非常好的答案。我只想补充一点。该问题指出“预测变量和数据的线性关系是不可解释的”。这暗示了一个常见的误解，尽管我通常在另一端听到它（'平方[立方等]术语的解释是什么？'）。

当我们有一个具有多个不同协变量的模型时，通常可以为每个 beta [术语] 提供自己的解释。例如，如果：

$$\widehat{\text{GPA}}_{college}=\beta_0+\beta_1\text{GPA}_{highschool}+\beta_2\text{class rank}+\beta_3\text{SAT},$$

（GPA 表示平均绩点；
排名是学生的 GPA 相对于同一高中其他学生的排序；
SAT 表示“学术能力测试”，这是针对上大学的学生的标准全国性测试）

然后我们可以为每个 beta/术语分配单独的解释。例如，如果一个学生的高中 GPA 高 1 分——其他条件相同——我们预计他们的大学 GPA 为$\beta_1$点更高。

然而，重要的是要注意，并不总是允许以这种方式解释模型。一个明显的情况是，当一些变量之间存在交互时，因为单个项不可能不同并且仍然保持其他所有条件不变 - 必然，交互项也会改变。因此，当存在交互时，我们不解释主效应，而只解释简单效应，这是众所周知的。

幂项的情况直接类似，但不幸的是，似乎并没有被广泛理解。考虑以下模型：

$$\hat{y}=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2$$ （在这个情况下，$x$旨在表示原型的连续协变量。）$x$改变而没有$x^2$也在变化，反之亦然。简而言之，当模型中有多项式项时，基于相同基础协变量的各种项不提供单独的解释。 这$x^2$($x$,$x^{17}$等）术语没有任何独立的含义。 一个事实$p$-幂多项式项在模型中“显着”表明存在$p-1$相关函数中的“弯曲”$x$和$y$. 不幸但不可避免的是，当存在曲率时，解释变得更加复杂，并且可能不太直观。评估变化$\hat{y}$作为$x$变化，我们将不得不使用微积分。上述模型的导数为：
$$\frac{dy}{dx}=\beta_1+2\beta_2x$$ 这是期望值的瞬时变化率$y$作为$x$变化，其他都一样。这不像对顶级模型的解释那么干净；重要的是，瞬时变化率$y$ 取决于水平$x$从中评估变化。此外，变化率$y$是瞬时速率；也就是说，它本身在从$x_{old}$到$x_{new}$. 这只是曲线关系的本质。

@whuber上面的回答是正确的，指出省略线性项是“通常的”二次模型相当于说，“我绝对确定极值在$x=0$。”

但是，您还需要检查您正在使用的软件是否有“陷阱”。某些软件可能会在拟合多项式并测试其系数时自动将数据居中，除非您关闭多项式居中。也就是说，它可能适合一个看起来像$Y = b_0 + b_2(x - \bar{x})^2$在哪里$\bar{x}$是你的平均值$x$s。这将迫使极值在$x=\bar{x}$.

您关于线性项和二次项在输入时都很重要的陈述需要一些澄清。例如，SAS 可能会报告该示例的 I 类和/或 III 类测试。类型 I 在放入二次之前测试线性。III 型测试模型中的线性与二次。

Brambor、Clark 和 Golder (2006)（附带一个互联网附录）对如何理解交互模型以及如何避免常见的陷阱有非常清晰的看法，包括为什么你应该（几乎）总是包含低阶术语（ “构成项”）在交互模型中。

分析师在指定乘法交互模型时应包括所有构成项，除非在极少数情况下。通过构成项，我们指的是构成交互项的每个元素。[..]

不过，读者应该注意，乘法交互模型可以采用多种形式，并且可能涉及二次项，例如$X^2$或更高阶的交互项，例如$XZJ$. 无论交互项采用何种形式，都应包括所有构成项。因此，$X$当交互项为$X^2$和$X$,$Z$,$J$,$XZ$,$XJ$， 和$ZJ$当交互项为$XZJ$.

不这样做可能会导致模型定义不足，从而导致估计有偏差。这可能会导致推理错误。

如果是这种情况并且$Z$与任一相关$XZ$（或者$X$) 几乎在任何社会科学环境中都会出现，然后省略构成项$Z$将导致有偏见（和不一致）的估计$\beta_0$,$\beta_1$， 和$\beta_3$. 尽管并不总是如此，但这是一个简单的遗漏变量偏差案例（Greene 2003, pp. 148-149）。