您希望点的比例与面积成正比，而不是与原点的距离成正比。由于面积与平方距离成正比，因此生成均匀的随机区域并取其平方根；根据需要缩放结果。将其与均匀的极角相结合。

这代码快速简单，执行效率高（尤其是在并行平台上），并准确生成规定数量的点。

例子

这是R说明算法的工作代码。

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

可以使用拒绝采样。这意味着我们可以从二维均匀分布中采样，并选择满足圆盘条件的样本。

这是一个例子。

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

当然，我会给你一个通用的 n 维答案，它也适用于二维情况。在三维空间中，圆盘的类似物是实心球（球体）的体积。

我将讨论两种方法。其中一个我称之为“精确”，你将在 R 中得到一个完整的解决方案。第二个我称之为启发式，这只是想法，没有提供完整的解决方案。

“精准”解决方案

我的解决方案基于Marsaglia 和 Muller 的作品。基本上，它的发生是为了使归一化为其范数的高斯向量会给你一个 d 维超球面上的均匀分布点：

它与二维圆上均匀分布的点相同。要将其扩展到磁盘的整个表面，您需要按半径进一步缩放它们。半径的平方是从二维均匀分布，或者升幂$d$在 d 维度上。所以，你提升权力$1/d$一个均匀的随机数来获得正确分布的半径。这是 R 中二维的完整代码，您可以轻松地将其扩展到任意数量的维度：

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

这是 3d 案例的代码片段，即实心球：

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

启发式方法

这种方法基于一个不太明显的事实，即当维数增加到无穷大时，单位超球面的体积与包围它的单位超立方体的体积之比会缩小到零。这可以从超球体体积的表达式中很容易地看出：

为什么这与我们手头的问题有关？假设，你想生成 d 个随机均匀数，这些将是 d 维超立方体内的随机点。接下来，您应用拒绝采样来选择超球面（又名 n 球）内的点：$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$. 问题是对于大量的维度 d，几乎所有的点都会在球体之外！您最终会丢弃绝大多数样品。

我提出的解决方案是使用拒绝采样对中心附近的点进行过采样。事实证明，如果您从球内部观察随机均匀样本的笛卡尔坐标之一，它的分布将收敛到具有方差的高斯坐标$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$. 因此，我们不是从立方体中均匀地选取点，而是使用高斯对笛卡尔坐标进行采样，然后对它们应用拒绝采样。这样我们就不会浪费那么多生成的随机变量。这将是重要性抽样技术的一种形式。

这是一个替代解决方案R：

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")