基本上，作为 Glivenko Cantelli 定理的直接结果，该测试是一致的，这是经验过程和统计数据的最重要结果之一。

GC 告诉我们 Kolmogorov Smirnov 检验统计量变为 0，因为$n \rightarrow \infty$在原假设下。在您处理实际分析和极限定理之前，它可能看起来很直观。这是一个启示，因为该过程可以被认为是无数个随机过程，因此定律或概率会导致人们相信总有一个点可以超过任何 epsilon 边界，但不，上确界将收敛于从长远来看。

多久？我不知道。测试的威力有点令人怀疑。我永远不会在现实中使用它。

http://www.math.utah.edu/~davar/ps-pdf-files/Kolmogorov-Smirnov.pdf

我们有两个独立的单变量样本：

$$\begin{align} X_1,\,X_2,\,...,\,X_N&\overset{iid}{\sim}F\\ Y_1,\,Y_2,\,...,\,Y_M&\overset{iid}{\sim}G, \end{align}$$ 在哪里$G$和$F$是连续累积分布函数。Kolmogorov-Smirnov 测试正在测试 $$\begin{align} H_0&:F(x) = G(x)\quad\text{for all } x\in\mathbb{R}\\ H_1&:F(x) \neq G(x)\quad\text{for some } x\in\mathbb{R}. \end{align}$$ 如果原假设为真，那么$\{X_i\}_{i=1}^N$和$\{Y_j\}_{j=1}^M$是来自相同分布的样本。所需要的一切$X_i$和$Y_j$从不同的分布中抽取是为了$F$和$G$至少相差任何数量$x$价值。所以KS测试是估计$F$和$G$使用每个样本的经验 CDF，磨练两者之间最大的逐点差异，并询问该差异是否“足够大”以得出结论$F(x)\neq G(x)$在某些时候$x\in\mathbb{R}$.

一个直观的看法：

Kolmogorov-Smirnov 检验从根本上依赖于观察分布的顺序。逻辑是，如果两个基本分布相同，则取决于样本大小，两者之间的排序应该很好地打乱。

如果样本排序以足够极端的方式“未打乱”（例如，分布中的所有或大部分观察$Y$在分布观察之前$X$，这将使$D$统计量大得多），这被视为基础分布不相同的零假设的证据。

如果两个样本分布被很好地打乱，那么$D$不会有机会变得非常大，因为的有序值$X$和$Y$将倾向于彼此跟踪，并且您将没有足够的证据来拒绝空值。