总结：带有线性核的核主成分分析与标准主成分分析完全等价。

让$\mathbf{X}$是中心的数据矩阵$N \times D$大小与$D$列中的变量和$N$行中的数据点。然后$D \times D$协方差矩阵由下式给出$\mathbf{X}^\top\mathbf{X}/(n-1)$，其特征向量是主轴，特征值是 PC 方差。同时，可以考虑所谓的格拉姆矩阵$\mathbf{X}\mathbf{X}^\top$的$N \times N$尺寸。很容易看出它具有相同的特征值（即 PC 方差），直到$n-1$因子，其特征向量是按单位范数缩放的主成分。

这是标准的 PCA。现在，在内核 PCA 中，我们考虑一些函数$\phi(x)$将每个数据点映射到另一个通常具有更大维度的向量空间$D_\mathrm{new}$，甚至可能是无限的。内核 PCA 的想法是在这个新空间中执行标准 PCA。

由于这个新空间的维度非常大（或无限），因此很难或不可能计算协方差矩阵。但是，我们可以将第二种方法应用于上述 PCA。确实，Gram 矩阵仍将具有相同的可管理性$N \times N$尺寸。该矩阵的元素由下式给出$\phi(\mathbf{x}_i)\phi(\mathbf{x}_j)$，我们称之为核函数$K(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j)=\phi(\mathbf{x}_i)\phi(\mathbf{x}_j)$. 这就是所谓的内核技巧：实际上不需要计算$\phi()$， 但只有$K()$. 这个 Gram 矩阵的特征向量将是目标空间中的主成分，也就是我们感兴趣的那些。

您的问题的答案现在变得显而易见。如果$K(x,y)=\mathbf{x}^\top \mathbf{y}$，则核格拉姆矩阵简化为$\mathbf{X} \mathbf{X}^\top$等于标准的 Gram 矩阵，因此主成分不会改变。

一个非常易读的参考资料是Scholkopf B, Smola A, and Müller KR, Kernel principal component analysis, 1999，请注意，例如在图 1 中，他们明确地将标准 PCA 称为使用点积作为核函数的标准 PCA：

除了变形虫的好答案之外，还有一种更简单的方法来查看等效性。再让$X$是的数据矩阵$N \times D$大小与$D$列中的变量和$N$行中的数据点。标准 PCA 对应于对矩阵进行奇异值分解$X = U \Sigma V^\top$和$U$的主要成分$X$. 线性核的奇异值分解$XX^\top = U \Sigma^2 U^\top$具有相同的左奇异向量，因此具有相同的主成分。

在我看来，具有线性内核的 KPCA 应该与简单的 PCA 相同。

您要从中获取特征值的协方差矩阵是相同的：

$$linearKPCA_{matrix} = \frac{1}{l} \sum_{j=1}^{l}K(x_{j},x_{j}) = \frac{1}{l} \sum_{j=1}^{l}x_{j}x_{j}^T = PCA_{matrix}$$

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