$\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}$ 好吧，当你说 SVD 时，大概你说的是截断的 SVD（你只保留个最大的奇异值）。有两种不同的方法可以查看矩阵的截断 SVD。一是标准定义：$k$

首先你做 SVD：，其中和是旋转矩阵，而具有沿对角线的奇异值。然后选择前个奇异值，将其余奇异值归零，并删除不相关的行和列，以对原始值$\underset{n\times m}{X} = \underset{n\times n}{U} \overset{n\times m}{\Sigma} \underset{m\times m}{V^T}$$U$$V$$\Sigma$$k$$k$$X \approx \tilde{X} = \underset{n\times k}{\tilde{U}} \overset{k\times k}{\tilde{\Sigma}} \underset{k\times m}{\tilde{V}^T}$

这一切都很好而且很花哨（并且很容易在 R 或 matlab 中实现），但是在谈论缺少值的矩阵时它没有意义。然而，截断 SVD 有一个有趣的特性——它是原始 k 秩的最佳！那是：$k$$k$

$\tilde{X} = \argmin_{B : rank(B)=k} \displaystyle\sum\limits_{i,j} (X_{ij} - B_{ij})^2$

这个属性似乎很容易推广到缺失值的情况。基本上，您正在寻找一个秩矩阵，以最小化原始矩阵的已知条目中的元素均方误差。也就是说，当您训练系统时，您会忽略所有缺失值。（有关如何实际找到秩近似值的提示，这里有一些地方可以查看）。$k$$k$

然后，一旦你想出了一个与原始值适当“接近”秩近似值，你就可以用它来填充缺失的值。也就是说，如果缺失，则填写。多田！你现在完成了。$k$$X_{ij}$$\tilde{X}_{ij}$

似乎有很多关于如何处理缺失值的方法。以下第 1.3 节中的评论可能是一个很好的起点。

我需要更多的声誉来评论 Stumpy Joe Pete 的答案，因此我将其发布为答案。

笨拙地感谢您的回答，尽管我认为它需要一些澄清。特别是我的意思是这句话：

基本上，您正在寻找一个 k 秩矩阵，该矩阵可以最小化原始矩阵已知条目的元素均方误差。

首先 - 最高排名不会总是最小化这个，或者实际上重建原始 X 矩阵？其次 - 你为什么只接受已知的条目。直觉上它是有道理的，但该过程实际上也适合用一些合理数字替换的空位。

我的方法是执行交叉验证之类的操作：

1. 用 0 或平均值或其他合理数字填空。
2. 将 n 个已知元素之一替换为 0 或合理数
3. 进行秩 k 的 SVD 重建
4. 检查已知重构元素的值。
5. 对所有可能的已知元素重复并计算 MSE
6. 对所有可能的 k 重复并选择 MSE 最低的一个。