这个问题现在已经足够老了，我可以在不破坏你的作业的情况下给你一个解决方案。正如您在问题中指出的那样，要计算此概率，您需要找到$D=X-Y$. 正态分布的性质之一是独立正态随机变量的任何线性组合也是正态随机变量，因此这建立了$D \sim \mathcal{N}$，剩下的只是找到这个随机变量的均值和方差。您正确得出了平均值，但错误地得出了方差。

获得均值和方差$D$我们对随机变量的线性函数的均值和方差应用标准规则。由于均值是线性算子，方差是二次算子，我们有：

$$\mathbb{E}(D) = \mathbb{E}(X-Y) = \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(Y) = 1-2 = -1.$$

$$\mathbb{V}(D) = \mathbb{V}(X-Y) = \mathbb{V}(X) + (-1)^2 \mathbb{V}(Y) = 2+3 = 5.$$

因此，您有以下概率：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(X>Y) = \mathbb{P}(X-Y>0) &= \mathbb{P}(D>0) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( \frac{D+1}{\sqrt{5}} > \frac{0+1}{\sqrt{5}} \bigg) \\[6pt] &= 1-\Phi \bigg( \frac{0+1}{\sqrt{5}} \bigg) \\[6pt] &= 0.3273604, \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

在哪里$\Phi$表示标准正态分布的累积分布函数。

好的，因为这是家庭作业，如果直接回答，你会得到提示。

而不是想$P(X>Y)$为什么不想想$P(X-Y>0)$. 这显然是相同的概率是吗？所以现在你只需要计算出分布$Z=X-Y$

你知道怎么做吗？

编辑

好的，所以您的问题在于差异的分布。试试这个：

如果$Y \sim N(1,2)$那么什么是分布$2Y$? 好吧，我们将均值加倍并将方差乘以$2^2$， 所以$Y \sim N(2,8)$. 请注意，这确保了分布的分布（标准偏差）增加了一倍，这是有道理的。现在您知道如何添加随机变量，那么如果您这样做会发生什么$Z = X + (-Y)$反而？

（事实上​​，这与 Dilip Sarwate 在较早的问题中指出的论点基本相同：https ://stats.stackexchange.com/a/31328/6633 ）

$D=X-Y$均值正常$-1$和方差$2+3$. 了解分布情况$D$，您可以计算所需的概率。

我认为这应该有效。

一般来说，假设$X$有分配功能$\mathbb{G}(x)$， 和$Y$有分配功能$\mathbb{H}(x)$和$X$和$Y$是独立的。我们需要找到概率$P(X>Y)$.

现在，对于一些常数$\alpha$,$P(Y<\alpha)=\mathbb{H}(\alpha)$. 所以，$P(Y<X)=\int_{x}\mathbb{H}(\alpha)d\mathbb{G}(\alpha)$.