以下是转移矩阵的三个示例，前两个用于可约情况，最后一个用于不可约情况。

$$\begin{eqnarray*} P_1 &=& \left( \begin{array}{cccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.8 \\ 0 & 0 & 0.7 & 0.3 \end{array} \right) \\\\ P_2 &=& \left( \begin{array}{cccc} 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.5 & 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$ 对于，当你处于状态 3 或 4 时，你会停留在那里，并且状态 1 和 2 相同。例如，无法从状态 1 到达状态 3 或 4。$P_1$

对于，您可以进入状态 1 到 3 的任何状态，但是一旦您处于状态 4，您将停留在那里。 为此例如，您可以从任何状态开始，但仍可以达到任何其他状态，尽管不一定是一步。$P_2$

$$P_3=\left( \begin{array}{cccccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 0.8 & 0 & 0.2 \\ 0.7 & 0 & 0.1 & 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0% \end{array} \right)$$

如果存在一些使得 \ = 即从状态到状态在步内的概率为。$j$$i$$i \to j$$n\geq 0$

$$p^n_{ij}=\mathbb P(X_n=j\mid X_0=i) > 0$$ $i$$j$$n$$p^n_{ij}$

如果和都成立，则状态和通信（通常由）。因此，如果每两个状态都进行通信，则马尔可夫链是不可约的。$i\to j$$j\to i$$i$$j$$i\leftrightarrow j$

设和是马尔可夫链的两个不同状态。到状态有一定的正概率，无论步数是多少（比如 1、2、3），那么我们说状态可以从状态访问。$i$$j$$i$$j$$\cdots$$j$$i$

在符号上，我们将其表示为。在概率方面，它表示如下：一个状态可以从状态访问，如果存在一个整数使得。$i\rightarrow j$$j$$i$$m>0$$p_{ij}^{(m)}>0$

类似地，我们说，如果存在整数使得。$j\rightarrow i$$n>0$$p_{ji}^{(n)}>0$

现在，如果和 都为真，那么我们说状态和相互通信，并且在符号上表示为。就概率而言，这意味着存在两个整数使得和。 $i\rightarrow j$$j\rightarrow i$$i$$j$$i \leftrightarrow j$$m>0,\;\; n>0$$p_{ij}^{(m)}>0$$p_{ji}^{(n)}>0$

如果马尔可夫链中的所有状态都属于一个封闭的通信类，则该链称为不可约马尔可夫链。不可约性是链的属性。

在不可约马尔可夫链中，过程可以从任何状态进入任何状态，无论它需要多少步。

一些现有的答案对我来说似乎不正确。

正如 J. Medhi（第 79 页，第 4 版）在Stochastic Processes中所引用的，如果马尔可夫链不包含除状态空间之外的任何适当的“闭合”子集，则它是不可约的。

因此，如果在您的转移概率矩阵中，有一个状态子集使得您无法“到达”（或访问）除这些状态之外的任何其他状态，那么马尔可夫链是可简化的。否则马尔可夫链是不可约的。