第一个公式是总体标准差，第二个公式是样本标准差。第二个公式也与方差的无偏估计量有关-有关更多详细信息，请参见维基百科。

我想（这里）在英国，他们没有区分高中的样本和人口。他们当然不会触及诸如有偏估计量之类的概念。

因为还没有人回答最后一个问题——即量化两个公式之间的差异——让我们来解决这个问题。

出于许多原因，比较标准偏差是根据它们的比率而不是它们的差异来比较合适的。比率是

近似值可以看作是截断平方根的（交替）泰勒级数，表明误差不能超过$|\binom{1/2}{2}N^{-2}|$=$1 / (8 N^2)$. 这确定了一次近似值（对于我们的目的）绰绰有余$N$是$2$或更大。

立即发现两个 SD 估计值彼此相差（大约）10% 以内$N$超过$5$, 5% 以内一次$N$超过$10$， 等等。显然，对于许多目的，这些差异是如此之小，以至于使用哪个公式都无关紧要，尤其是当 SD 旨在描述数据的传播或进行半定量评估或预测时（例如在使用 68-95 -99.7 经验法则）。比较时差异甚至不那么重要SD，例如在比较两个数据集的分布时。（当数据集数量相等时，差异实际上完全消失了，两个公式得出相同的结论。）可以说，这些是我们试图教初学者的推理形式，所以如果学生开始担心使用哪个公式，这可能被视为文本或课程未能强调真正重要的标志。

我们可能要注意非常小的情况$N$. 在这里，人们可能正在使用$t$测试而不是$z$测试，例如。在这种情况下，必须使用表格或软件使用的标准偏差公式。（这不是一个公式是错还是对的问题；这只是一个一致性要求。）大多数表格使用$s$， 不是$s_n$：这是小学教学大纲中的一个地方，课本和老师需要明确使用哪个公式。

这是贝塞尔的修正。美国版显示的是样本标准差的公式，上面的英国版是样本的标准差。

我不确定这纯粹是美国与英国的问题。本页的其余部分摘自我写的一个常见问题解答（http://www.graphpad.com/faq/viewfaq.cfm?faq=1383）。

如何计算分母为 n-1 的 SD

1. 计算每个值与样本均值之差的平方。

2. 将这些值加起来。

3. 将总和除以 n-1。结果称为方差。

4. 取平方根以获得标准偏差。

为什么是n-1？

为什么在计算标准差时除以 n-1 而不是 n？在步骤 1 中，您计算​​每个值与这些值的平均值之间的差值。你不知道人口的真实平均值；您所知道的只是样本的平均值。除了样本均值恰好等于总体均值的极少数情况外，数据将更接近样本均值而不是真实总体均值。因此，您在步骤 2 中计算的值可能会比在步骤 1 中使用真实总体平均值时的值小一些（并且不能更大）。为了弥补这一点，除以 n-1 而不是比 nv 这称为贝塞尔校正。

但是为什么是n-1？如果您知道样本均值以及除一个值之外的所有值，您可以计算最后一个值必须是什么。统计学家说有 n-1 个自由度。

何时应使用 n 而不是 n-1 的分母计算 SD？

统计书籍通常显示两个计算 SD 的方程，一个使用 n，另一个使用 n-1，在分母中。有些计算器有两个按钮。

n-1 方程用于分析数据样本并希望得出更一般性结论的常见情况。以这种方式计算的 SD（以 n-1 为分母）是您对总体总体中 SD 值的最佳猜测。

如果您只是想量化一组特定数据的变化，并且不打算外推得出更广泛的结论，那么您可以使用 n 作为分母来计算 SD。得到的 SD 是那些特定值的 SD。如果您想估计从中抽取这些点的总体的 SD，那么以这种方式计算 SD 是没有意义的。仅当没有从总体中抽样时，在分母中使用 n 才有意义，并且不希望做出一般性结论。

科学的目标几乎总是概括，因此不应使用分母为 n 的方程。我能想到的唯一可能有意义的例子是量化考试成绩之间的差异。但更好的是显示每个分数的散点图，或频率分布直方图。