对于向量范数，L2范数或“欧几里得距离”是广泛使用且直观的定义。但是为什么矩阵的“最常用”或“默认”范数定义是谱范数，而不是 Frobenius 范数（类似于向量的 L2 范数）？
这是否与迭代算法/矩阵幂有关（如果光谱半径小于 1，则算法将收敛）？
像“最常用”、“默认”这样的词总是有争议的。上面提到的“默认”一词来自Matlabfunction中的默认返回类型norm。R矩阵的默认范数是 L1 范数。两者对我来说都是“不自然的”（对于矩阵，这样做似乎更“自然”就像在向量中一样）。（感谢@usεr11852 和@whuber 的评论，对造成的混乱表示抱歉。）
可能是扩展矩阵范数的用法会帮助我理解更多吗？
一般来说，我不确定光谱范数是最广泛使用的。例如，Frobenius 范数用于逼近非负矩阵分解或相关/协方差矩阵正则化的解。我认为这个问题的一部分源于某些人（包括我自己）在将Frobenius norm称为Euclidean matrix norm时所做的术语轻罪。我们不应该因为实际上矩阵范数（即谱范数）是在使用向量范数时被引入矩阵的范数。Frobenius 范数是元素方面的：，而矩阵范数（）基于奇异值，因此它更“通用”。（为了更好的术语？）矩阵范数是欧几里德类型范数，因为它是由欧几里德向量范数诱导的，其中。因此它是矩阵的诱导范数，因为它是由向量范数诱导的，在这种情况下
可能MATLAB 旨在在使用命令时默认范数；因此，它提供了欧几里得向量范数，但也提供了矩阵范数，即。谱矩阵范数（而不是错误引用的“ Frobenius /Euclidean matrix norm ”）。最后让我注意，默认规范在某种程度上是一个见仁见智的问题：例如，JE Gentle 的“矩阵代数 - 统计中的理论、计算和应用”字面上有一章 (3.9.2) 名为：“ The Frobenius规范 - “通常”的规范norm“；很明显，光谱规范并不是所有各方考虑的默认规范！:) 正如@amoeba 评论的那样，不同的社区可能有不同的术语约定。不用说，我认为 Gentle 的书是关于Lin. 代数在统计学中的应用，我会提示您进一步研究！
部分答案可能与数值计算有关。
当您以有限精度求解系统
时，您不会得到该问题的确切答案。由于有限算术的约束，你得到一个近似值在某种适当的意义上。那么，您的解决方案代表什么？嗯，它很可能是其他一些系统的精确解，例如
因此，具有实用性，波浪号系统必须接近原始系统：
如果你的算法求解原系统满足该性质，则称为后向稳定。 ,有多大的差异最终会导致边界错误，表示为,. 对于某些分析，范数（最大列和）是最容易通过的，对于其他分析，范数（最大行和）是最容易通过的（对于线性系统情况下的解的组件，例如），对于其他一些，光谱范数是最合适的（由传统的向量范数，正如另一个答案中指出的那样）。对于对称 psd 矩阵求逆中的统计计算工作马，Cholesky 分解（琐事：第一个声音是希腊字母“chi”中的 [x]，而不是“chase”中的 [tʃ]），最方便的规范跟踪误差范围是范数……尽管 Frobenius 范数也会出现在某些结果中，例如在分区矩阵求逆中。
这个问题的答案取决于你所在的领域。如果你是一名数学家，那么有限维中的所有范数都是等价的：对于任何两个范数和，有存在常量，它仅取决于维度（和 a,b），使得：
这意味着有限维度的规范非常无聊，除了它们的缩放方式之外，它们之间基本上没有区别。这通常意味着您可以为要解决的问题选择最方便的规范。通常，您想回答诸如“此运算符或过程是否有界”或“此数值过程是否收敛”之类的问题。有了有界性，你通常只关心某事是有限的。通过收敛，通过牺牲收敛速度，您可以选择使用更方便的规范。
例如，在数值线性代数中，有时首选 Frobenius 范数，因为它比欧几里得范数更容易计算，而且它自然地与更广泛的Hilbert Schmidt 算子相关联。此外，就像欧几里得范数一样，它是次乘的：，不像说，最大范数，所以它可以让你轻松地谈论运算符乘法在任何您正在工作的空间。人们往往非常喜欢范数和 Frobenius 范数，因为它们与矩阵的特征值和奇异值都有自然关系，并且具有可乘性。
出于实际目的，规范之间的差异变得更加明显，因为我们生活在一个维度的世界中，并且某个数量有多大以及如何测量它通常很重要。上面的那些常数与相比多少或多或少变得很重要。