建议：只需为每个标量分量分别计算 PSRF

Gelman & Rubin [1] 的原始文章，以及 Gelman 等人的贝叶斯数据分析教科书。[2] 建议为每个感兴趣的标量参数分别计算潜在的比例缩减因子 (PSRF)。为了推断收敛性，需要所有 PSRF 接近 1。将参数解释为随机向量并不重要，它们的分量是可以计算 PSRF 的标量。

Brooks & Gelman [3] 提出了 PSRF 的多变量扩展，我将在本答案的下一部分进行回顾。然而，引用 Gelman & Shirley [4] 的话：

[...] 这些方法有时可能显得有些矫枉过正：即使多元分布的模拟的近似收敛可能需要很长时间，也可以很好地估计单个参数。

替代方案：Brooks&Gelman 的多元扩展

Brooks & Gelman [3] 提出了 PSRF 的多元扩展，其中确实有人将估计的协方差矩阵（您的步骤 4）计算为链内的加权和（$W$) 和链间 ($B$）协方差矩阵（您的第 3 步）：

$$\begin{equation} \hat{V} = \frac{n-1}{n}W + \left ( 1 + \frac{1}{m} \right )\frac{B}{n}, \end{equation}$$ 在哪里$n$是链长。然后，需要为协方差矩阵之间的距离定义一些标量度量$\hat{V},W$. 作者提出 $$\begin{equation} \hat{R} = \max_a \frac{a^T\hat{V}a}{a^TWa} = \frac{n-1}{n} + \left(\frac{m+1}{m}\right)\lambda_1, \end{equation}$$ 在哪里$m$是链的数量，相等性在文章中显示为$\lambda_1$是最大的正特征值$W^{-1}\hat{V}/n$. 然后，作者认为在链的收敛下，$\lambda_1\rightarrow 0$因此大$n$这个多元$\hat{R}$应该在 1 附近收敛。

参考

[1] 格尔曼、安德鲁和唐纳德 B. 鲁宾。“使用多个序列的迭代模拟推断。” 统计科学（1992）：457-472。

[2] 格尔曼、安德鲁等人。贝叶斯数据分析。CRC 出版社，2013 年。

[3] 布鲁克斯、斯蒂芬 P. 和安德鲁·格尔曼。“监测迭代模拟收敛的一般方法。” 计算和图形统计杂志 7.4 (1998): 434-455。

[4] 格尔曼、安德鲁和肯尼斯·雪莉。“从模拟推断和监测收敛”。（第 6 章，Brooks，Steve 等人，编着马尔可夫链蒙特卡罗手册。CRC 出版社，2011 年。）

除了教科书 [2] 之外的所有文章都可以在 Andrew Gelman 的网站Andrew Gelman 的网站上找到。