你是对的，负载可以在这里帮助你。它们可用于计算变量和主成分之间的相关性。此外，一个变量在所有主成分上的平方载荷之和等于 1。因此，平方载荷告诉您一个变量由一个主成分解释的方差比例。

princomp 的问题是，它只显示“非常高”的负载。但由于载荷只是协方差矩阵的特征向量，因此可以使用eigenR 中的命令获取所有载荷：

 loadings <- eigen(cov(USArrests))$vectors
 explvar <- loadings^2

现在，您在矩阵中获得了所需的信息explvar。

我认为接受的答案可能具有危险的误导性（-1）。 OP 中至少有四个不同的问题混合在一起。我会一个接一个地考虑。

• Q1。给定的原始变量解释了给定 PC 的多少方差？给定的 PC 解释了给定原始变量的多少方差？

这两个问题是等价的，答案由变量和PC之间的相关系数如果对相关性进行 PCA，则相关系数由载荷的相应元素给出（参见此处） 。PC与相关矩阵的特征向量和相应的特征值相关联。载荷向量由。它的元素是这个 PC 与各自原始变量的相关性。$r^2$$r$$i$$\mathbf V_i$$s_i$$\mathbf L_i$$\mathbf L_i = (s_i)^{1/2} \mathbf V_i$

请注意，特征向量和载荷是两个不同的东西！在 R 中，特征向量被混淆地称为“载荷”；应该小心：它们的元素不是所需的相关性。[此线程中当前接受的答案使两者混淆。]$\mathbf V_i$$\mathbf L_i$

此外，如果 PCA 是对协方差（而不是相关性）进行的，那么载荷也会给你协方差，而不是相关性。为了获得相关性，需要按照 PCA 手动计算它们。[目前接受的答案尚不清楚。]

• Q2。给定原始变量的多少方差可以由给定的 PC 子集解释？如何选择这个子集来解释例如的方差？$80\%$

因为 PC 是正交的（即不相关），所以可以简单地将各个值相加（参见 Q1）以获得全局值。$r^2$$R^2$

要选择一个子集，可以将具有最高相关性 ( ) 的 PC 与给定的原始变量相加，直到达到所需的解释方差量 ( )。$r^2$$R^2$

• Q3。给定 PC 的多少方差由给定的原始变量子集解释？如何选择这个子集来解释例如的方差？$80\%$

PCA 不会自动给出这个问题的答案！例如，如果所有原始变量都与成对的密切相关，那么第一台 PC 和所有变量之间的相关性将在左右。人们无法将这些数字相加来计算这台 PC 的方差比例，例如，由五个原始变量解释（这将导致无意义的结果）。相反，需要对这些变量进行回归这台 PC 并获得多个值。$r=0.9$$r=0.9$$r^2$$R^2 = 0.9\cdot0.9\cdot5>1$$R^2$

@FrankHarrell (+1) 建议如何选择解释给定方差量的子集。

您可以进行向后或向前逐步变量选择，根据其组成变量预测一个组件或组件的线性组合。如果您使用向后步进，将在第一步为 1.0。时逐步回归几乎是一场灾难，但当预测是机械的时，它可以很好地工作，就像这里的情况一样。您可以添加或删除变量，直到您解释 0.8 或 0.9（例如）主成分中的信息。$R^2$$Y$

与 R 捆绑在一起的美国逮捕数据在这里只是一个例子，但我注意到问题中的载荷计算来自协方差矩阵的 PCA 。这介于任意和荒谬之间，因为变量是在不同的尺度上测量的。

城市人口看起来像一个百分比。加利福尼亚是 91% 和最高的。

三个犯罪变量似乎是相对于人口规模（大概在一段时间内）表示的犯罪被捕人数。大概它记录在某处，无论是每 1000 人或 10000 人或其他人的逮捕人数。

给定单位中攻击变量的平均值约为 171，平均谋杀值约为 8。因此，您对负载的解释是，该模式在很大程度上是人工制品：它取决于变量的非常不同的可变性。

因此，尽管数据中的意义在于，因袭击而被捕的人数比因谋杀等原因被捕的人数多得多，但已知（或不足为奇）的事实在分析中占主导地位。

这表明，与统计中的其他任何地方一样，您必须考虑您在 PCA 中所做的事情。

如果你更进一步：

1. 我认为最好将城市百分比排除在分析之外。在城市生活不是犯罪；它当然可以作为影响犯罪的变量的代理。

2. 在我看来，基于相关矩阵的 PCA 会更有意义。另一种可能性是使用逮捕率的对数，而不是逮捕率（所有值都是正数；见下文）。

注意：@random_guy 的回答故意使用协方差矩阵。

以下是一些汇总统计数据。我使用了Stata，但这并不重要。

    Variable |       Obs        Mean    Std. Dev.       Min        Max
-------------+--------------------------------------------------------
   urban_pop |        50       65.54    14.47476         32         91
      murder |        50       7.788     4.35551         .8       17.4
        rape |        50      21.232    9.366384        7.3         46
     assault |        50      170.76    83.33766         45        337