载荷（不应与特征向量混淆）具有以下属性：

1. 它们在每个分量内的平方和是特征值（分量的方差）。
2. 载荷是线性组合的系数，通过（标准化）分量预测变量。

您从 4 台 PC 中提取了 2 台第一台 PC。 负载矩阵$\bf A$和特征值：

A (loadings)
         PC1           PC2
X1   .5000000000   .5000000000 
X2   .5000000000   .5000000000 
X3   .5000000000  -.5000000000 
X4   .5000000000  -.5000000000
Eigenvalues:
    1.0000000000  1.0000000000

在这种情况下，两个特征值相等。这是现实世界中罕见的情况，它说PC1和PC2具有相同的解释“强度”。

假设您还计算了组件值，Nx2矩阵$\bf C$，并且您在每列中对它们进行 z 标准化（平均值 = 0，标准开发 = 1）。然后（如上面第 2 点所说），$\bf \hat {X}=CA'$. 但是，因为您在 4 台 PC 中只剩下 2 台（您在$\bf A$) 恢复的数据值$\bf \hat {X}$不准确， - 存在错误（如果特征值 3、4 不为零）。

好的。通过变量预测组件的系数是多少？显然，如果$\bf A$满了4x4，这些是$\bf B=(A^{-1})'$. 对于非方形加载矩阵，我们可以将它们计算为$\bf B= A \cdot diag(eigenvalues)^{-1}=(A^+)'$，其中diag(eigenvalues)是对角线方阵，特征值在其对角线上，+上标表示伪逆矩阵。在你的情况下：

diag(eigenvalues):
1 0
0 1

B (coefficients to predict components by original variables):
    PC1           PC2
X1 .5000000000   .5000000000 
X2 .5000000000   .5000000000 
X3 .5000000000  -.5000000000 
X4 .5000000000  -.5000000000

因此，如果$\bf X$是Nx4原始中心变量（或标准化变量，如果您基于相关性而不是协方差进行 PCA）的矩阵，则$\bf C=XB$;$\bf C$是标准化的主成分分数。在您的示例中是：

PC1 = 0.5*X1 + 0.5*X2 + 0.5*X3 + 0.5*X4 ~ (X1+X2+X3+X4)/4

“第一部分与平均分成正比”

PC2 = 0.5*X1 + 0.5*X2 - 0.5*X3 - 0.5*X4 = (0.5*X1 + 0.5*X2) - (0.5*X3 + 0.5*X4)

“第二部分测量第一对分数和第二对分数之间的差异”

在这个例子中，看起来$\bf B=A$，但在一般情况下它们是不同的。

注意：上述系数计算组件分数的公式，$\bf B= A \cdot diag(eigenvalues)^{-1}$, 等价于$\bf B=R^{-1}A$， 和$\bf R$是变量的协方差（或相关）矩阵。后一个公式直接来自线性回归理论。这两个公式仅在 PCA 上下文中是等效的。在因子分析中，它们不是，并且计算因子分数（在 FA 中总是近似的）应该依赖于第二个公式。

我的相关回答：

有关 loading 与 eigenvectors 的更详细信息。

如何计算主成分分数和因子分数。

尽管自上次发表评论以来已经过去了好几年，但我认为原始问题的答案应该是对如何阅读“载荷矩阵”进行更定性的解释（无论我们用来构建它的假设如何）。如果垂直“权重”都相同（如在原始情况下 PC1 全部为 0.5），则意味着对于 PC1，所有变量都具有相同的权重（0.5）。如果所有变量具有相同的权重，则意味着“分数”（在 PC 矩阵中，它是沿特征向量投影的原始数据矩阵的矩阵）与原始数据矩阵中分数的平均值成正比。所以 PC1 告诉我根据其 PC 平均分数来评估普通学生（在这种情况下，这与原始平均分数相差 2 倍）

关于第二个问题，在数学上确实是两对分数之间的差异，但是 PC2 的分析告诉我们学生在哪里好或坏（由 PC1 定义）：所以我们可以说x1 和 x2 一起移动，并且 x1（和 x2）与其分数的平均值相差甚远，x3（和 x4）在相反方向上与分数的平均值相差相同的量 => 更多一个学生在数学和物理方面表现出色，其阅读/词汇量的分数下降了相同的数量。

因此，总而言之，通过阅读负载矩阵，我们可以制定可以通过查看“PC 矩阵”和“分数”来验证的假设：如果您对普通学生的行进行平均，您可以通过以下方式说出他的好坏程度只看价值（不要忘记我们认为高/低意味着好/坏），如果您然后选择 x1（或 x2），您可以预期它们是相似的（都高或都低），您可以说如果该学生在该科目上是好是坏，因此您可以预期他在 x3（或 x4）中的好坏。