考虑矩形可能会有所帮助。想象一下，您有机会免费获得土地。土地的大小将由（a）随机变量的一种实现或（b）同一随机变量的两种实现来确定。在第一种情况 (a) 中，该区域将是一个边长等于采样值的正方形。在第二种情况 (b) 中，两个采样值将表示矩形的宽度和长度。您选择哪种替代方案？

令为正随机变量的实现。$\mathbf{U}$

a) 一种实现的期望值确定正方形的面积，等于。平均而言，该区域的大小将为 $\mathbf{U}$$\mathbf{U}^2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$$

b) 如果有两个独立的实现和，则面积将为。平均而言，大小等于 因为两个实现都来自相同的分布并且独立。$\mathbf{U}_1$$\mathbf{U}_2$$\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$

当我们计算区域 a) 和 b) 的大小之差时，我们得到

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$

上述术语等同于本质上大于或等于。$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$$0$

这适用于一般情况。

在您的示例中，您从均匀分布中采样。因此，$\mathcal{U}(0,1)$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$$ $$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$$ $$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$$

与我们得到 $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$$

这些值是通过分析得出的，但它们与您使用随机数生成器获得的值相匹配。

并不是说 Sven 的出色回答缺少任何东西，但我想就这个问题提出一个相对基本的看法。

考虑绘制每个产品的两个分量，以便查看联合分布非常不同。

请注意，只有当两个分量都很大时，乘积才会很大（接近 1），当两个分量完全相关而不是独立时，这种情况更容易发生。

因此，例如，对于 (对于小 ) 的概率约为，但对于 ('B')版本大约是。$1-\epsilon$$\epsilon$$\epsilon/2$$U^2$$U_1\times U_2$$\epsilon^2/2$

差别很大！

在上述图表上绘制等积等值线可能会有所帮助 - 即，对于 0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 等值，xy=常数的曲线。随着您的值越来越大，对于独立情况，轮廓上方和右侧的点比例下降得更快。