凸函数有一个最小值 - 一个很好的属性，因为优化算法不会陷入不是全局最小值的局部最小值。拿$x^2 - 1$， 例如：

非凸函数是波浪形的——有一些“谷”（局部最小值）不如整体最深的“谷”（全局最小值）那么深。优化算法可能会陷入局部最小值，并且很难判断何时会发生这种情况。拿$x^4 + x^3 -2x^2 -2x$， 例如：

凹函数是凸函数的负数。拿$-x^2$， 例如：

非凹函数不是一个广泛使用的术语，只要说它是一个非凹函数就足够了——尽管我已经看到它曾经指代非凸函数。我真的不会担心这个。

要定义凸函数，您需要一个凸集$X$作为域和$\mathbb{R}$作为共域。

一个函数是凸的，如果它满足以下性质：

您应该通读凸函数的维基百科页面。

在一个维度中，您可以将维度可视化，因为每当您选择域上的任意两个点并使用直线连接它们时，直线始终等于或高于图形。

就个人而言，我发现以下检查凸属性的属性非常有用：

“当且仅当其二阶偏导数的 Hessian 矩阵在凸集内部是半正定时，多个变量的连续、两次可微函数在凸集上是凸的。”

• 如果函数不是凸函数，则该函数是非凸函数。

• 一个函数，$g$如果是凹的$-g$是一个凸函数。

• 如果函数不是凹函数，则函数是非凹函数。

请注意，函数可以同时是凸函数和凹函数，直线既是凸函数又是凹函数。

非凸函数不一定是凹函数。例如，函数$f(x)=x(x-1)(x+1)$定义于$[-1,1]$.