将普通最小二乘法 (OLS) 视为一个“黑匣子”，以最小化

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

对于行是元组的数据表。$i^\text{th}$$(1, x_i, y_i)$

当有权重时，必然是正的，我们可以将它们写为。根据定义，加权最小二乘法最小化$w_i^2$

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

但这正是 OLS 黑盒在给定由“加权”元组组成的数据表时最小化的内容。因此，将 OLS 公式应用于这些加权元组会给出您寻求的公式。$(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$

whuber 的答案给出了数学背后的直觉，这很好，但我仍然无法计算公式（即我应该把权重放在哪里）。在网上搜索后，我发现这些幻灯片给出了以下内容：

您想最小化以下错误：

$$\sum_{i=1}^n (w_i(y_i - (\alpha + \beta x_i)))^2$$

那么，最优对为： $(\hat\alpha,\hat\beta)$

$$\hat\alpha = \overline y_w - \hat\beta \overline x_w$$ $$\hat\beta = \frac{\sum_{i=1}^n w_i(x_i-\overline x_w)(y_i-\overline y_w)}{\sum_{i=1}^n w_i(x_i-\overline x_w)^2}$$

其中和是加权平均值：$\overline x_w$$\overline y_w$

$$\overline x_w = \frac{\sum_{i=1}^n w_ix_i}{w_i}$$ $$\overline y_w = \frac{\sum_{i=1}^n w_iy_i}{w_i}$$