考虑一个多项式 logit 模型，其中您估计市场份额为 ，其中外部商品归一化为零。当你取这个表达式的对数时，你得到 对于内部商品和外部商品：

$$\widehat{s}_{jt} = \frac{\exp(\delta_{jt})}{1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt})}$$ $$\log (\widehat{s}_{jt}) = \delta_{jt} – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$$ $$\log (\widehat{s}_{0t}) = 0 – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$$

那么你的由 并假设给定足够大的样本，估计的市场份额等于真实的市场份额，如您所说。这可以通过 OLS 估计，其中误差项由。请注意，假设市场是相互独立的。$\delta_{jt}$

$$\delta_{jt} = \log (\widehat{s}_{jt}) – \log (\widehat{s}_{0t}) = X'_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}$$ $\xi_{jt}$

为了澄清这个概念，让我们考虑一下 Stata 中的一个例子。对于这样的练习，我没有合适的数据集，所以让我们假设我们有汇总数据

• 5 个产品 ( prod)
  
• 产品价格 ( p)
  
• 售出数量 ( q)
  
• 二 产品特点 ( x1, x2)
  

假设商品 1 是市场份额为 10-20%（因市场而异）的外部商品，其余商品在其他商品之间分配。您将在 Stata 中执行以下操作：

* calculate the market share of your goods in all markets
egen mktsales = sum(q), by(mkt)
gen share = q/mktsales

* generate logs
gen ln_share = ln(share)

* subtract the log share of the outside good from the log share of the inside goods
gen diffshare = .
forval i = 1(1)100 {
    qui sum ln_share if prod==1 & mkt==`i’
    replace diffshare = ln_share - `r(max)’ if mkt==`i’
}

* run the regression
reg diffshare p x1 x2

这为您提供了用于需求估计的 Berry 反演或 Berry logit。需要注意的一件事是：如果未观察到的产品特征包括与价格相关的因素（如产品质量或广告活动），那么您需要使用工具变量回归。您可以这样做，因为我们已经线性化了市场需求系统，因此标准 2SLS 是一种选择。$\xi_{jt}$

在这种情况下，您需要一些能外生地改变价格但不影响需求的东西。经济学中经验工业组织文献中使用的常用工具是成本转移器（参见 Berry 等人，1995 年），例如鱼的价格会受到海上恶劣天气的影响，但消费者需求不会；在假设消费者对商品的估值不依赖于其他产品的特征（参见 Nevo，2001）或者如果您对数据有空间维度，Hausman（1997）使用品牌的价格变化城市 A 来衡量城市 B 的价格。这是因为两个城市的品牌产品具有共同的边际成本，但需求不同。$i$

作为替代方案，Berry 等人。(1995) 开发了一个随机系数 logit 模型，该模型给出了更准确的自身和交叉价格弹性以及商品之间更灵活的替代模式。

参考：

• Berry, S., J. Levinsohn & A. Pakes (1995)，“市场均衡中的汽车价格”，Econmetrica, 63, 4, 841-90
  
• Hausman, J.，“在完美和不完美竞争下对新商品的估值”，载于 Bresnahan 和 Gordon（编辑），新商品经济学，NBER 收入与财富研究 58，1997 年，209-237
  
• Nevo, A. (2001)，“衡量即食谷物行业的市场力量”，计量经济学，69, 2, 307-42