信息处理 - 功率谱密度的频率轴是什么意思？ - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换功率谱密度自相关统计数据随机

2022-02-07 11:01:35

当我们绘制功率谱密度（PSD）时，我从来没有真正理解频率轴的含义。

它是否对应于我们对时域信号进行傅立叶变换后得到的频率。这对我来说没有意义，因为这里的频率（当我们对时域信号进行 FT 时）对应于时间变量“t”。

为了找到 PSD，我们采用自相关函数的傅里叶变换，它是时间差即（对于广义平稳情况）或用于其他情况。

τ = t_{2} - t_{1}

$\tau = t_2 - t_1$

R_{x x} (τ)

$R_{xx}(\tau)$

R_{x x} (t_{1}, t_{2})

$R_{xx}(t_1,t_2)$

这里的自相关是时间差或两个时间变量的函数。如果是这种情况，那么我们怎么能说 PSD 给出了分布在频域中的功率呢？

我怎么理解这个。如果有人可以同时给出数学解释和直观解释，我将不胜感激。

谢谢你。

2个回答

功率谱密度 (PSD) 的频率变量等于“正常”时域信号的傅立叶变换之一这一事实可以通过考虑以下广义稳态的 PSD 定义更容易看出（ WSS) 随机过程： $x(t)$

\begin{matrix} (1) & S_{x} (ω) = lim_{T \to \infty} E {\frac{1}{T} {| \int_{- T / 2}^{T / 2} x (t) e^{- j ω t} d t |}^{2}} \end{matrix}

$S_x(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}E\left\{ \frac{1}{T}\left| \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-j\omega t}dt \right|^2 \right\}\tag{1}$

请注意，只是的截断版本的傅里叶变换的缩放平方幅度的期望极限。所以频率变量只是傅里叶变换（平方幅度）的频率变量。 $(1)$ $x(t)$ $\omega$

Wiener-Khinchin 定理说 WSS 随机过程的自相关函数和 PSD 形成傅里叶变换对。

这个答案表明的傅里叶逆变换确实等于的自相关函数。 $(1)$ $x(t)$

这个问题我纠结了很久。我从不喜欢这个问题的答案如何再次以数学形式呈现。尽管如此，我一遍又一遍地继续研究同样的问题，我所理解的内容如下所示。

通过这种方式，我理解了为什么 PSD 的频率轴仍然代表时间序列波形的频率。

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