信息处理 - 现有指数平滑的过采样系数 - 吾爱随笔录

现有指数平滑的过采样系数

信息处理采样平滑

2022-02-15 14:01:57

假设我对某些，有一个指数平滑。在这个采样中，我选择一个特定的来过滤信号，例如 $\Delta t$ $t_{i+1} = t_i + \Delta t$ $\alpha$ $z_i$

v_{1} = z_{0} v_{i + 1} = α z_{i} + (1 - α) v_{i}

$v_1 = z_0 \\ v_{i+1} = \alpha\:z_i + (1-\alpha)\:v_i$

达成了某种协议。 $\alpha$

周期内获得五倍以上的样本。我需要修改平滑因子。在我看来，直觉上，新的因子，比如，它对以前的值具有相同的折扣效果，但迭代次数增加了五倍，应该是 $\Delta t$ $\alpha$ $\alpha'$

(1 - α^{'})^{5} = 1 - α

$(1-\alpha')^5 = 1-\alpha$

它是否正确？有没有任何原则性的方法来证明这一点？

注意：从原始渐近方差（对于常数模型）变为根据上面的等式，它实际上更小（我检查了这个）。这是有道理的，因为更多的数据会为作为常数的估计量提供更高的精度，其中。

V a r [v] \to \frac{α}{2 - α} σ^{2}

$\mathbb{V}ar[v] \to \frac{\alpha}{2-\alpha} \sigma^2$

V a r [v^{'}] \to \frac{α^{'}}{2 - α^{'}} σ^{2}

$\mathbb{V}ar[v'] \to \frac{\alpha'}{2-\alpha'} \sigma^2$

v_{t}

$v_t$

z_{t} = k + ϵ

$z_t = k + \epsilon$

ϵ \sim N (0, σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma)$

1个回答

我认为考虑到绝对时间，看看脉冲响应是有启发性的。我假设以下递归：

\begin{matrix} (1) & y_{n} = α x_{n} + (1 - α) y_{n - 1} \end{matrix}

$y_n=\alpha x_n+(1-\alpha)y_{n-1}\tag{1}$

对应于（1）描述的递归系统的脉冲响应是

h_{n} = α (1 - α)^{n}

$h_n=\alpha(1-\alpha)^n$

现在假设我们有一个样本间隔为 T 的离散时间系统以及另一个样本间隔为的离散时间系统。令，令和为样本间隔为的系统的常数。为了使两个系统具有相同的时间常数和相同的缩放，我们需要（考虑时间点） $T$ $T^{\prime}=T/L$ $\beta=1-\alpha$ $\alpha^{\prime}$ $\beta^{\prime}$ $T^{\prime}$ $t_n=nT=nLT^{\prime}$

\begin{matrix} (2) & α β^{n} = α^{'} {β^{'}}^{n L} \end{matrix}

$\alpha\beta^{n}=\alpha^{\prime}{\beta^{\prime}}^{nL}\tag{2}$

从（2）我们看到

α = α^{'}, β = β^{' L} (i.e. β^{'} \neq 1 - α^{'})

$\alpha=\alpha^{\prime},\quad \beta=\beta^{\prime L}\quad \text{(i.e. $\beta^{\prime}\neq 1-\alpha^{\prime}$)}$

在这种情况下，具有较高采样率的系统的脉冲响应只是另一个系统的脉冲响应的插值版本。请注意，关于的条件是您直观得出的条件，它也是两者中更重要的一个，因为它会影响系统的时间常数。选择只影响缩放，在这个意义上是次要的。选择当然也是可能的，只是改变了缩放比例。 $\beta^{\prime}$ $\alpha=\alpha^{\prime}$ $\alpha^{\prime}=1-\beta^{\prime}$

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