信息处理 - 对数（转换）与转换（对数） - 吾爱随笔录

假设一个任意的、严格正的 $x[n]$ , 转换为

\begin{matrix} (0) & x_{l} [n] = \log (1 + C x [n]) \end{matrix}

$x_l[n] = \log(1 + C x[n]) \tag{0}$ 在哪里

C

$C$ 是自由选择的。鉴于以下情况，其中

h [n]

$h[n]$ 是一个高斯低通滤波器（或任何其他严格的正低通）：

\begin{aligned} (1) & y_{0} & = h [n] ⋆ x_{l} [n] \\ (2) & y_{1} & = \log (h [n] ⋆ x [n]) \\ (3) & y_{ref} & = h [n] ⋆ x [n] \end{aligned}

$\begin{align} y_0 &= h[n] \star x_l[n] \tag{1} \\ y_1 &= \log(h[n] \star x[n]) \tag{2} \\ y_\text{ref} &= h[n] \star x[n] \tag {3} \end{align}$

哪一个（之间 $(1)$ 和 $(2)$ ) 在以下方面更好：

确切的上下文是散射变换 - 简单地说，与高斯卷积的尺度图/频谱图（模数）。我想知道是否更喜欢在卷积之前或之后取 log。我的结果表明后者 $(1)$ 对A更好， $(2)$ 对B更好（见下文），但我想知道是否已经详细研究了这种区别。

“日志”如 $(0)$ , 右侧显示左侧突出显示的切片。

我发现 $(2)$ 的边缘 $(1)$ 在一个令人惊讶的地方，因为我认为没有对数的小值会在平均（与高斯沿行的卷积）中被“淹没”，并且在“恢复”方面会比先取对数然后再卷积更差。如果我添加噪声或频率平行的第二个指数啁啾，结果仍然存在。