信息处理 - 什么是纯余弦波 cos(θ) 的 DFT - 吾爱随笔录 - 问答

什么是纯余弦波 cos(θ) 的 DFT

信息处理 fft 自由度

2022-02-20 13:40:05

上的 N 个等距点采样的纯余弦波 cos(θ) 的 DFT $[0, 2\pi)$

所以对于我们的余弦波，我把我的像这样 $x$

$x=cos(\phi)$

然后我把它放在 DFT 公式中

$X[k]=\sum \cos(\phi)𝑒^{−j2\pi kn/N}$

并使用 euler furmula

$\cos(\theta) = (e^{j\theta} + e^{-j\theta})/2$

现在我们有了

$X[k]=\sum(e^{j\theta} + e^{-j\theta})/2.(e^{−j2\pi nk/N})$

之前移动 1/2 sum分开（因为我们有 + ） $\sum$ $\sum$

$X[k]=1/2\sum(e^{j\theta})(e^{−j2\pi nk/N})+1/2\sum(e^{-j\theta})(e^{−j\pi nk/N})$

知道我不知道我这样做对不对！？

接下来我该怎么做？

2个回答

如果要对之间的 N 个等距值处采样进行 DFT ，则需要考虑对序列进行 N 点 DFT： $cos(\theta)$ $[0, 2\pi]$

x [n] = c o s [2 π \frac{n}{N}], n = 0, 1, 2, . . ., N - 1

$x[n] = cos[2\pi \frac{n}{N}], n = 0,1,2,...,N-1$

$cos(\theta)$ ">

而且，对于这个，您甚至不必应用 DFT 公式。这可以通过使用欧拉公式非常简单地完成。现在，将上述表达式视为 Invere DFT 并计算出仅对于 k 的 2 个值不为零即和。但是和的大小不会是。 $x[n]$

c o s (θ) = \frac{e^{j θ} + e^{- j θ}}{2}

$cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}$

x [n] = c o s [2 π \frac{n}{N}] = \frac{e^{j 2 π \frac{n}{N}} + e^{- j 2 π \frac{n}{N}}}{2} = \frac{e^{j 2 π \frac{n}{N}} + e^{j 2 π \frac{n . (N - 1)}{N}}}{2}

$x[n] = cos[2\pi \frac{n}{N}] = \frac{e^{j2\pi\frac{n}{N}} + e^{-j2\pi\frac{n}{N}}}{2} = \frac{e^{j2\pi\frac{n}{N}} + e^{j2\pi\frac{n.(N-1)}{N}}}{2}$

X [k]

$X[k]$

k

$k$

k = 1

$k=1$

k = (N - 1)

$k= (N-1)$

X [1]

$X[1]$

X [N - 1]

$X[N-1]$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

我认为您现在可以自己计算出和的大小。 $X[1]$ $X[N-1]$

提示：幅度将按 DFT 的长度进行缩放。

您的不是 n 个样本数的函数。采样后，任何连续函数变为 n的函数，其中是采样周期。如果是余弦信号的频率，单位为 Hz，则离散余弦信号可以表示为。现在余弦是 n 的函数，您可以应用 DFT 公式。 $\theta$ $x(t)$ $x(nT_s)$ $T_s$ $f$ $cos[2 \pi fn/N]$

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