信息处理 - 最小二乘误差估计：条件(一种吨一种)− 1=一种− 1(一种吨)− 1(ATA)−1=A−1(AT)−1? - 吾爱随笔录

最小二乘误差估计：条件(一种吨一种)− 1=一种− 1(一种吨)− 1(ATA)−1=A−1(AT)−1?

信息处理离散信号卡尔曼滤波器线性代数最小二乘

2022-01-26 05:28:54

我是线性代数的新手，有这个简单的问题......至少平方估计......方程的最佳估计 $Ax = b$ 是 $x_{Estimated} = A (A^t A )^{-1} A^t b$ ...的投影 $b$ 在列空间上 $A$ 是 $p = A (A^t A)^{-1} At b$ 写成 $p = P b...P$ 是投影矩阵 = $A (A^t A)^{-1} A^t$ 现在使用逆规则 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ………… $P$ 减少到 $I$ ....投影矩阵也是 $P$ 只是单位矩阵 $I$ ..?? 我错过了一些基本的还是我的概念不清楚？我们能写吗 $(A^t A)^{-1} = A^{-1} (A^t)^{-1}$ 总是？？

2个回答

首先，最小范数最小二乘解是 $A^+b$ ，在哪里 $A^+$ 是伪逆。只有当左逆 $A_L^{-1}$ （或右逆 $A_R^{-1}$ ) 存在，你有 $A^+=A_L^{-1}=(A^TA)^{-1}A^T$ （或者 $A^+=A_R^{-1}=A^T(AA^T)^{-1}$ ）。

同样，在列空间上的投影矩阵是 $P=AA^+$ ，或者 $P=AA_R^{-1}=AA^T(AA^T)^{-1}=I$ 如果 $A_R^{-1}$ 存在。换句话说，如果 A 具有完整的行秩，则投影仪 $P$ 确实是一个单位矩阵。如果只存在左逆，那么 $P=AA_L^{-1}=A(A^TA)^{-1}A^T$ 不是单位矩阵。

最后， $(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$ 仅在以下情况下有效 $A$ 和 $B$ 是方阵。

从这里：

(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A A^{- 1} = I

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A (BB^{-1}) A^{-1} = A A^{-1} = I$

所以 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 假如 $A$ 和 $B$ 是可逆的。

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