信息处理 - 高斯调幅信号的分数带宽 - 吾爱随笔录

信息处理信号分析连续信号高斯模拟调幅

2022-02-09 00:31:44

高斯调制的正弦信号可以表示为

x (t) = A \cdot e^{(j 2 π f t)} \cdot e^{[- \frac{1}{2 σ^{2}} \cdot (t - t_{0})^{2}]}

$x(t)=A\cdot e^{(j2\pi ft)}\cdot e^{\left[-\frac{1}{2\sigma^{2}}\cdot(t-t_{0})^{2}\right]}$

让我们考虑高斯峰值为 0 且总幅度为 1 的情况：

x (t) = e^{(j 2 π f t)} \cdot e^{[- \frac{1}{2 σ^{2}} \cdot t^{2}]}

$x(t)=e^{(j2\pi ft)}\cdot e^{\left[-\frac{1}{2\sigma^{2}}\cdot t^{2}\right]}$

这个函数的分数带宽是多少？

我问这个问题是因为我认为这是一个非常常用的参数。事实上，有MATLAB的专有函数和Python的专有函数）可以生成这个函数，并且都要求我指定：

我认为最后一个必然与标准偏差有关 $\sigma$ . 但是通过哪个数学关系？它是时域的带宽（所以高斯脉冲的 FWHM： $2.35\cdot \sigma$ ）或频域带宽（所以???）？

2个回答

我会试一试。

高斯的傅里叶变换也是高斯的。每个域中的标准差相关为 $\sigma_t \cdot \sigma_F = \frac{1}{2\pi}$ 时间标准差， $\sigma_t$ 有时间单位和频域标准差 $\sigma_F$ 单位为赫兹。

我们可以将高斯的“带宽”定义为-3dB 点，即能量下降到50% 的点。我们解决 $f(x) = \sqrt2$ 我们得到

x_{- 3 d B} = σ \sqrt{l n (2)}

$x_{-3dB} = \sigma \sqrt{ln(2)}$

这在两个领域都成立。然后我们可以找到-3dB频率 $f_{-3dB}$ 如下

f_{- 3 d B} = σ_{F} \sqrt{l n (2)} = \frac{\sqrt{l n (2)}}{2 π σ_{T}}

$f_{-3dB} = \sigma_F \sqrt{ln(2)} = \frac{\sqrt{ln(2)}}{2\pi\sigma_T}$

带宽是 -3dB 频率的两倍，因为能量在调制频率上下延伸。我假设分数意味着相对于调制频率， $f_{mod}$ 因此我们可以将分数带宽定义为

B_{f r a c} = \frac{2 f_{- 3 d B}}{f_{m o d}} = \frac{\sqrt{l n (2)}}{π \cdot σ_{T} \cdot f_{m o d}}

$B_{frac} = \frac{2f_{-3dB}}{f_{mod}} = \frac{\sqrt{ln(2)}}{\pi \cdot \sigma_T \cdot f_{mod}}$

比例因子取决于您对“带宽”的确切定义。对于-3dB，结果是 $\sqrt{ln(2)}$

用正弦波调制的事实不会改变脉冲的 FWHM 带宽—— $e^{jx}$ 功能有 $\left\lvert e^{jx}\right\rvert\equiv 1$ 在每一点。这不会改变幅度，因此正弦调制高斯的 FWHM 与未调制高斯的 FWHM 相同。

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