我正在研究图像处理问题，想知道是否DFT(rotation(image)) == rotation(DFT(image)) (1)。我的最终目标是在傅里叶域中应用旋转，然后进行傅里叶逆变换并获得旋转后的图像。

这个问题非常接近我正在寻找的内容。该问题链接到资源说（1）在理论上是正确的（对于无限信号和无限频率箱），并且公认的答案表明它在数学上是如此。然而，答案还指出，由于人工制品，使用 DFT 算法在“现实世界”中重现可能实际上很困难。

我试图重现 (1) 但到目前为止未能这样做，而且我的印象是有些东西比“人工制品”更错误。我的实验可以总结为下图：

我在傅里叶域中显示的图像是 FT 虚部的缩放，具有标准化强度以增强可视化。但是，该点代表实部，如果您选择像这样可视化它们，也代表幅度和相位谱。
如您所见，我没有得到与（1）一致的结果，因为最后一列的两个图像（根本不相等）。我觉得问题出在傅里叶图像的旋转上。旋转后的傅里叶图像看起来与旋转后的傅里叶图像完全不同。我实际上并没有真正理解后者是如何计算的：即使旋转 45 度，例如中间部分保持大致相同（看看中心白色像素的 4 个黑色邻居，它们在两个图像中都是相同的第 2 列）。

为了强调我的观点，我制作了一个动画，显示（左）原始图像的 FT，（中）傅里叶的旋转，（右）旋转的傅里叶，角度在 0 到 90 之间变化

我尝试过对原始图像进行更严格的填充，注意位深度，尝试旋转幅度和相位而不是实部和虚部，但到目前为止还没有运气。有什么我做错了吗？如何实现在傅里叶域中“正确”应用旋转的目标？

这是重现大部分实验的代码（在 Python 中，使用 OpenCV 和 Scipy）以及原始图像

import numpy as np
import cv2
from scipy import ndimage

# Helper function to save an image with a normalized range for visualization
def normalize_and_cvt_to_uint8(im):
    min_ = np.min(im)
    max_ = np.max(im)
    im_norm = (im - min_) / (max_ - min_) * 255
    return im_norm.astype(np.uint8)

# Rotate a complex image
def rot(im_tot, angle):
    # Get real and imaginary part
    im_real = im_tot[:,:,0]
    im_imag = im_tot[:,:,1]

    # Rotate each part individually
    im_real_rot = ndimage.rotate(im_real, angle, reshape = False)
    im_imag_rot = ndimage.rotate(im_imag, angle, reshape = False)

    # Recreate complex image
    im_rot = np.dstack((im_real_rot, im_imag_rot))

    return im_rot

# Helper function to pad an image to a given shape
def pad_to_shape(im, goal_h, goal_w):
    [h, w] = im.shape[:2]
    delta_w = goal_w - w
    delta_h = goal_h - h
    top, bottom = delta_h // 2, delta_h - (delta_h // 2)
    left, right = delta_w // 2, delta_w - (delta_w // 2)
    return cv2.copyMakeBorder(im, top, bottom, left, right, cv2.BORDER_CONSTANT, value=0)

path_im = "poivrons.png"
im = cv2.imread(path_im, 0)
im_shape = 801
im = pad_to_shape(im, im_shape, im_shape)
cv2.imwrite("starting_im.png", im)


# Compute DFT of original image
dft1 = cv2.dft(np.float32(im), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft1 = np.fft.fftshift(dft1)
cv2.imwrite("dft1.png", normalize_and_cvt_to_uint8(dft1[:,:,1]))

# Rotate original image
angle = 45
im_rot = ndimage.rotate(im, angle, reshape=False)
cv2.imwrite("rotated_img.png", im_rot)


# Compute DFT of rotated image
dft2 = cv2.dft(np.float32(im_rot), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft2 = np.fft.fftshift(dft2)
cv2.imwrite("dft2.png", normalize_and_cvt_to_uint8(dft2[:,:,1]))

# Rotate DFT of original image
dft3 = rot(dft1, angle)
dft3 = np.fft.fftshift(dft3)


# Compute IDFT of rotated DFT
cv2.imwrite("dft3.png", normalize_and_cvt_to_uint8(dft3[:,:,1]))
im_back = cv2.idft(np.fft.ifftshift(dft3), flags=cv2.DFT_SCALE | cv2.DFT_REAL_OUTPUT)
cv2.imwrite("back_img.png", im_back)