我试图通过多项式（系数）乘法、快速傅里叶变换和矩阵乘法来理解卷积的等价性。我正在使用 octave 和 octave-signal 包，这个问题的一部分可能与它们的实现有关（我相信这与 MATLAB 相同）。

因此，我创建了长度为的原始信号，而我的棚车窗口长度为。$N$$n$

N = 48; 
n = 6; 

我使用作为这个例子的输入函数。$\sin$

dt = 2*pi/N;
t = [-N/2:N/2-1]'*dt;
f = sin(t);

多项式乘法卷积（）：$g = h \star f$

h = ones(n,1);
g_conv = conv(h,f);
g_conv_same = conv(f,h,'same');

FFT 和 FFT 卷积与输入的零填充（也是）：$g = h \star f$

g_ft = real(ifft(fft(h,N).*fft(f)));

f_padded = [f; zeros(n-1,1)]; % append zeros
g_ft_padded = real(ifft(fft(h,N+n-1).*fft(f_padded)));

矩阵乘法卷积（）：$\mathbf{g} = \mathbf{A} \mathbf{f}$

A = convmtx(h,N);
g_mtx = A*f;

$\mathbf{A}$看起来像这样：

查找修剪数组的索引：

idx_A = find(sum(A,2) == n);
idx_t = 1:length(idx_A);

绘制结果（通过不同方法卷积的信号）：

plot(t(idx_t),g_mtx(idx_A),'k','linewidth',3);
line(t-5*dt,g_ft,'color','g','linewidth',2);       %-> offset by 5*dt
line(t-7*dt,g_ft_padded(1:length(t)),'color','r','linestyle','--'); %-> offset by 7*dt
line(t(idx_t),g_conv(idx_A),'color','b','marker','o');
line(t-2*dt,g_conv_same,'color','b','marker','+'); %-> offset by 2*dt
legend({'matrix','FFT','FFT (padded)','conv','conv (same shape)'},...
       'location','southeast')
xlabel('x value')
ylabel('y value')

看起来像这样：

在这一点上我有几个问题：

• 为什么 FFT 方法的结果会偏移几个单位dt？
• 如果我填充 FFT 结果以使输入向量不再是周期性的（红色虚线），为什么我会在结果中遗漏部分卷积函数（右侧）？
• 如何处理 FFT 卷积的末端，以使结果与多项式和矩阵乘法结果对齐？

提前致谢。PS如果这些细节有很好的教科书参考，我将不胜感激。

（我已经编辑澄清。）