交换机是透明设备。交换机本身不广播任何内容。交换机将淹没未知的单播帧，并且广播或（可能）多播帧将被发送到所有交换机接口，但交换机不发起流量，也不关心第 3 层协议，例如 IP，因此交换机不会不知道 IP 地址，更不用说广播它们了。

网络上的每个设备都有自己的地址，并且每个设备都根据其配置的网络掩码知道本地网络是什么。

根据您的编辑：

Linksys 路由器和所有消费级设备在这里都明显是题外话。

DHCP 请求从主机广播到网络，因此 DHCP 请求将发送到所有交换机接口，包括 DHCP 服务器的交换机接口（可能在您的路由器机箱中运行）。DHCP 服务器将用必要的信息（IP 地址、掩码、网关地址等）响应请求主机。

尽管您的网络拓扑对我来说不是很清楚（考虑在问题中包含图表），但这里有一些概念需要牢记。第一个是广播域。

广播域是计算机网络的逻辑划分，其中所有节点都可以在数据链路层通过广播到达彼此。广播域可以在同一个 LAN 段内，也可以桥接到其他 LAN 段。-维基百科

这实质上意味着包括 DHCP 在内的所有广播都不会比您的路由器更进一步。如果发往另一个网络的单播或多播数据包到达您的路由器，它将被转发。

另一个需要考虑的概念是第 3 层交换。我不知道这是否适用于您的网络，但您可以拥有一个执行相同网络或 VLAN 间路由的交换机以减轻路由器的负载并最大限度地减少数据包传输。但是，交换机也有一个源地址表 (SAT)，用于转发流量，而不会使所有交换机端口充满流量。最初的 DHCP 请求将到达整个广播域，但随后 DHCP 进程的进一步流量将在服务器和客户端之间独占，而不会被连接到交换机或路由器的其他设备看到。

我希望这回答了你的问题。如果您提供拓扑或网络图的更新说明，我可能能够更好地回答您的问题。