假设我有一些数据，由$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$对，例如$\{(\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{y_1}), (\boldsymbol{x_2},\boldsymbol{y_2}),...,(\boldsymbol{x_n},\boldsymbol{y_n})\}$为了$n\in\mathbb{N}$.

我假设数据来自某个函数$f(\boldsymbol{x})$有一些噪音，我不知道函数，所以我们不知道它是否是周期性的（很可能，它不是周期性的）。

这表示$\boldsymbol{y_i} = f(\boldsymbol{x_i}) + \boldsymbol{\epsilon_i}$在哪里$\boldsymbol{\epsilon_i} \sim \textbf{N}(\textbf{0}, \boldsymbol{\sigma}^2))$.

现在我知道傅里叶级数只为周期函数定义。但是（此处）可以将在区间上定义的非周期函数“扩展”为周期函数。

我拥有的数据量是有限的，因此将位于一个区间内。

所以我的问题是：

通过在多维区间中考虑数据（这是多维的，x 和 y 都是向量），通过找到系数来尝试将傅里叶级数拟合到数据是否有意义（甚至可能）最小化一些损失函数？（例如均方误差）有人如何为多维、非周期性、有噪声的函数定义这个傅立叶级数？

（仅使用有限数量的傅立叶项！）