p 是一个概率，所以它严格在 0 和 1 之间。所以 ln(p/(1-p)) 是：

对于 p = 0：ln(0/1) = -Inf

对于 p = 1：ln(1/0) = +Inf

所以现在您已将概率重新调整为 +/- Inf。在 GLM 框架中，您几乎可以使用任何将概率缩放到 +/-Inf 的函数（参见任何 GLM 教科书，或https://stats.stackexchange.com/questions/20523/difference-between-logit-and-probit-models）。

它是怎么来的？好吧，数学家和统计学家意识到他们需要一个具有上述性质的函数，他们进行了思考，想出了一些，决定了那些具有易于处理的渐近性质的函数，探索了它们如何处理真实数据并决定合理的那些是 logit（如上所述），概率（参见参考资料）和其他一些。当然，您应该始终根据您的数据测试您的模型假设，链接的选择只是这些假设中的另一个，就像假设协变量中的线性一样。

logistic function关于为什么会出现的一个直观答案是Logistic Regression从生成模型的角度来看，这导致了线性判别分析模型。

基本上，这个想法是，而不是直接建模likelihood $p(y|x)$像在logistic regression. 你建模class-conditional $p(x|y)$和$p(y)$，然后导出输出$p(y)$通过贝叶斯法则。

$$p(y|x) = \frac{p(x|y) p(y)}{p(x)}$$

事实证明，如果您通过高斯分布或指数族中的任何分布对输入进行建模（对于两个类别具有相同的色散参数），那么您的可能性logistic function是$x$

$$p(y = 1 | x) = \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=1)p(y=1) + p(x|y=0)p(y=0)}$$

在哪里

$$p(x|y=1) = \mathcal{N(\mu_1, \Sigma)}$$ $$p(x|y=1) = \mathcal{N(\mu_0, \Sigma)}$$

经过一些简化

$$p(y=1|x) = \frac{1}{1 + exp(-w^Tx - b)}$$

在哪里$w = \Sigma^{-1}(\mu_0 - \mu_1)$

这就解释了为什么logistic function会出现